Determinar:
\lim _{x \rightarrow \pi}\left(\frac{1-\operatorname{sen}\left(\frac{x}{2}\right)}{\pi-x}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se calcular o limite \displaystyle \lim_{x\to\pi}\left(\frac{1-\operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\pi-x}\right).
  • A expressão envolve a função \operatorname{sen}\!\left(\frac{x}{2}\right) (vou escrever como \sin\!\left(\frac{x}{2}\right) nas contas).
  • Se eu substituir x=\pi diretamente: 1-\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1-1=0 \qquad\text{e}\qquad \pi-\pi=0,então a expressão toma a forma indeterminada \dfrac{0}{0}.

Passo 2

Identificar uma forma conveniente de resolver: observar que a expressão é exatamente a diferença quociente relacionada à derivada da função f(x)=\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) em x=\pi.
  • Primeiro faço uma pequena álgebra para ver isso claramente: \frac{1-\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)}{\pi-x} =\frac{-(\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)-1)}{-(x-\pi)} =\frac{\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)-\sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)}{x-\pi}.
  • A definição de derivada em a é f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.Comparando, com f(x)=\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) e a=\pi, a quantidade do enunciado é exatamente \displaystyle\lim_{x\to\pi}\frac{f(x)-f(\pi)}{x-\pi}=f'(\pi).
  • Portanto basta calcular a derivada f'(x) e avaliar em x=\pi.

Passo 3

Calcular a derivada de f(x)=\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) aplicando a regra da cadeia:
  • Regra da cadeia (explicando): se f(x)=\sin(u(x)), então f'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x). Aqui u(x)=\dfrac{x}{2}.
  • Derivada de u(x)=\dfrac{x}{2} é u'(x)=\dfrac{1}{2}.
  • Logo f'(x)=\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).(Passo a passo: derivada de \sin é \cos, e multiplica-se pela derivada interna 1/2.)

Passo 4

Avaliar a derivada em x=\pi:
  • Substituindo x=\pi em f'(x): f'(\pi)=\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right).
  • Conhecimento trigonométrico básico: \cos\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=0.
  • Portanto f'(\pi)=\frac{1}{2}\cdot 0 = 0.

Passo 5

(Bônus: verificação rápida por L’Hôpital)
  • Como a forma é 0/0, pode-se aplicar a regra de L’Hôpital: derivar numerador e denominador e tomar o limite.
  • Derivada do numerador 1-\sin\!\left(\frac{x}{2}\right) é -\frac{1}{2}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
  • Derivada do denominador \pi-x é -1.
  • A razão das derivadas é \dfrac{-\tfrac{1}{2}\cos(\tfrac{x}{2})}{-1}=\dfrac{1}{2}\cos\!\left(\frac{x}{2}\right), que ao avaliar em x=\pi 0, concordando com o resultado acima.

Resposta

0

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