Determinar:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se calcular o limite
. - A expressão envolve a função
(vou escrever como nas contas). - Se eu substituir
diretamente: então a expressão toma a forma indeterminada .
Passo 2
Identificar uma forma conveniente de resolver: observar que a expressão é exatamente a diferença quociente relacionada à derivada da função
em
.
- Primeiro faço uma pequena álgebra para ver isso claramente:
- A definição de derivada em
é Comparando, com e , a quantidade do enunciado é exatamente . - Portanto basta calcular a derivada
e avaliar em .
Passo 3
Calcular a derivada de
aplicando a regra da cadeia:
- Regra da cadeia (explicando): se
, então . Aqui . - Derivada de
é . - Logo
(Passo a passo: derivada de é , e multiplica-se pela derivada interna .)
Passo 4
Avaliar a derivada em
:
- Substituindo
em : - Conhecimento trigonométrico básico:
. - Portanto
Passo 5
(Bônus: verificação rápida por L’Hôpital)
- Como a forma é
, pode-se aplicar a regra de L’Hôpital: derivar numerador e denominador e tomar o limite. - Derivada do numerador
é . - Derivada do denominador
é . - A razão das derivadas é
, que ao avaliar em dá , concordando com o resultado acima.