Determinar o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y-y}{(x-1){2}+y{2}}’

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x\,y - y}{(x-1)^{2} + y^{2}}.
Estamos em cálculo de funções de duas variáveis e veremos se essa função é contínua em (0,0) ou se precisamos de outra estratégia.

Passo 2

Observe que o numerador fatoriza em
x\,y - y = y\,(x - 1).
Logo a função pode ser reescrita como
f(x,y)=\frac{y\,(x-1)}{(x-1)^{2} + y^{2}}.

Passo 3

Em (x,y)=(0,0) o denominador vale
(0-1)^{2}+0^{2}=1\neq 0,
portanto a função f é bem definida e contínua num entorno de (0,0). Assim, o limite é simplesmente f(0,0).

Passo 4

Agora basta calcular
f(0,0)=\frac{0\cdot(0-1)}{(0-1)^{2}+0^{2}} =\frac{0}{1}=0.

Resposta

O limite existe e vale 0.

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