Determine a elipse cujo centro é C=(3,4), um dos vértices do elxo maior é D=(3,7) e a distância focal é 2 .
a) 9 x^{2}+8 y^{2}-54 x-48 y+81=0
b) 3 x^{2}+4 y^{2}-24 x-24 y+72=0
c) 9 x^{2}+8 y^{2}-54 x-64 y+137=0
ce) 16 x^{2}+15 y^{2}-96 x-120 y+144=0
d) 3 x^{2}+4 y^{2}-18 x-24 y+51=0
f) 16 x^{2}+15 y^{2}-96 x-90 y+39=0

Passo 1

O enunciado pede a equação de uma elipse cujo centro é C=(3,4), um vértice maior é D=(3,7) e a distância focal é 2. Vamos usar a forma canônica da elipse centrada em (h,k) com semi-eixos a e b e a relação
c^2 = a^2 - b^2,
onde 2c é a distância entre os focos.

Passo 2

A distância do centro C=(3,4) até o vértice maior D=(3,7) é
a = \sqrt{(3-3)^2 + (7-4)^2} = 3.

Passo 3

Como a distância focal é 2, temos 2c=2, logo
c = 1.

Passo 4

Usando c^2 = a^2 - b^2, obtemos
b^2 = a^2 - c^2 = 3^2 - 1^2 = 9 - 1 = 8.

Passo 5

O vértice maior D tem mesma abscissa de C, logo o eixo maior é vertical. A forma canônica é
\frac{(x-3)^2}{b^2} + \frac{(y-4)^2}{a^2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{(x-3)^2}{8} + \frac{(y-4)^2}{9} = 1.

Passo 6

Multiplicando por 72 para eliminar denominadores:
9(x-3)^2 + 8(y-4)^2 = 72.
Expandindo:
9x^2 - 54x + 81 + 8y^2 - 64y + 128 = 72
9x^2 + 8y^2 - 54x - 64y + 209 - 72 = 0
9x^2 + 8y^2 - 54x - 64y + 137 = 0.

Passo 7

Comparando com as alternativas, corresponde à letra (c).

Resposta

(c) 9x^{2} + 8y^{2} - 54x - 64y + 137 = 0

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