Acredita-se que na Copa do Mundo de Futebol em 2014, no Brasil, a proporção média de pagantes, nos jogos do Brasil, entre brasileiros e estrangeiros, foi de 3 para 2, respectivamente. Nos jogos da Copa em que o Brasil não jogou, a proporção média entre brasileiros e estrangeiros é de 7 para 5, respectivamente. Admita que o público médio nos jogos do Brasil seja de 70 mil pagantes, e nos demais jogos de 48 mil. Se ao final da Copa o Brasil tiver participado de 7 jogos, de um total de 64 jogos do torneio, a proporção média de pagantes brasileiros em relação aos estrangeiros no total de jogos da Copa foi, respectivamente, de N_{B} para N_{E} onde \frac{N_{B}}{N_{E}} é uma fração irredutível.
Determine:
N_{B}=
\square
N_{E}=
\square

Passo 1

O enunciado dá duas situações de proporções e públicos médios:
– Nos 7 jogos do Brasil a proporção de brasileiros para estrangeiros é de 3:2 e o público médio é de 70000.
– Nos 64-7=57 jogos sem o Brasil a proporção de brasileiros para estrangeiros é de 7:5 e o público médio é de 48000.
Queremos somar, em cada caso, o total de pagantes brasileiros e estrangeiros e depois achar a proporção global irredutível.

Passo 2

Nos jogos do Brasil, a cada jogo entram
\frac{3}{3+2}\times70000 = \frac{3}{5}\times70000 = 42000
pagantes brasileiros e
\frac{2}{5}\times70000 = 28000
pagantes estrangeiros.
Como são 7 jogos, o total é
\text{B}_{\mathrm{Br}} = 7\times42000 = 294000, \qquad \text{E}_{\mathrm{Br}} = 7\times28000 = 196000.

Passo 3

Nos 57 jogos sem o Brasil, a cada jogo entram
\frac{7}{7+5}\times48000 = \frac{7}{12}\times48000 = 28000
pagantes brasileiros e
\frac{5}{12}\times48000 = 20000
pagantes estrangeiros.
Então o total é
\text{B}_{\neg\mathrm{Br}} = 57\times28000 = 1596000, \qquad \text{E}_{\neg\mathrm{Br}} = 57\times20000 = 1140000.

Passo 4

Somamos os dois cenários:
N_{B_{\text{total}}} = 294000 + 1596000 = 1890000, \qquad N_{E_{\text{total}}} = 196000 + 1140000 = 1336000.
A proporção é
1890000 : 1336000.
Dividindo ambos por 1000 e depois por 2 fica
1890 : 1336 = 945 : 668,
que já é irredutível.

Resposta

N_{B} = 945 N_{E} = 668

Exercícios relacionados