Determinar os limites seguintes:
lim (x, y, z) (0,1, pi4)(xy sen yx, cos x, tg y z)

Passo 1

O enunciado pede a seguinte função vetorial em R^3:
F(x,y,z)=l(xysinyx,;cos x,;tan(yz)r)
e queremos
lim(x,y,z)to(0,1,pi/4)F(x,y,z)
Vamos usar a propriedade de que o limite de um vetor é o vetor dos limites de cada componente, o teorema do sanduíche para a primeira componente e a continuidade de cos e tan nas demais.

Passo 2

Primeira componente: xysinyx. Observe que
l|tfracxysintfracyxr|<=l|tfracxyr|
e, à medida que (x,y,z)to(0,1,pi/4), temos tfracxyto0 (pois yto1neq0). Pelo teorema do sanduíche,
lim(x,y,z)to(0,1,pi/4)xysinyx=0

Passo 3

Segunda componente: por continuidade de cos,
lim(x,y,z)to(0,1,pi/4)cos x=cos0=1
Terceira componente: por continuidade de tan,
lim(x,y,z)to(0,1,pi/4)tan(yz) =tanl(1cdottfracpi4r) =tanpi4=1

Passo 4

Reunindo as componentes pelo teorema dos limites de funções vetoriais, obtemos
lim(x,y,z)to(0,1,pi/4)F(x,y,z) =l(0,,1,,1r)

Resposta

(0,,1,,1)

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