Determinar os limites das sequencias, se ele existir. Classifique as sequencias em convergentes e não convergentes
Passo 1
O enunciado dá a sequência
definida por
O que precisa ser determinado:
- O limite
, se existir. - Classificar a sequência: convergente ou não convergente.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de
para cada
. Nada mais é dado.
Passo 2
Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): vou mostrar que a sequência é limitada superiormente por um número finito e que é monotonicamente crescente; isso garante convergência. Depois calculo explicitamente o limite usando logaritmo e um limite básico
. Também vou usar a série
que é a definição usual do número
(valor aproximado
). Vou provar que todos os
ficam abaixo de
, e então determinar o limite.
Passo 3
Provar uma cota superior:
para todo
.
Usando o binômio de Newton:
Para cada
escrevemos
Cada fator
é menor ou igual a
, logo
Somando para
obtemos
Portanto
para todo
, ou seja, a sequência é limitada superiormente por
.
Passo 4
Provar que
é monotonicamente crescente.
Defina
. Se mostrar que
é crescente, como exponencial é crescente,
também será crescente.
Considere a função contínua e diferenciável
Calcula-se a derivada (faça sem medo, é só regra do produto e cadeia):
Para testar o sinal de
faça a mudança
. Defina
Calculando
dá
Como
e
, conclui-se
para todo
. Voltando a
(onde
), isso diz exatamente que
Portanto
é estritamente crescente em
. Em particular, para inteiros positivos
temos
ou seja,
é crescente e assim
é crescente.
Passo 5
Conclusão de existência de limite: já temos que
é crescente (Passo 4) e limitada superiormente por
(Passo 3). Pelo teorema do ponto fixo monótono (ou teorema de convergência de sequências monotônicas), uma sequência crescente e limitada superiormente converge. Logo
é convergente e tem um limite finito
.
Passo 6
Calcular o limite explicitamente.
Tomemos logaritmo para facilitar. Queremos
se o limite interno existir. Ponha
. Quando
tem-se
e
O limite clássico
pode ser mostrado rapidamente por l’Hôpital (numerador e denominador vão a
; derivando dá
que tende a
quando
) ou por expansão em série. Assim
Portanto