Determinar os limites das sequencias, se ele existir. Classifique as sequencias em convergentes e não convergentes
\left\{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência \{a_n\} definida por
a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n},\qquad n\in\mathbb{N}.
O que precisa ser determinado:
  • O limite \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n, se existir.
  • Classificar a sequência: convergente ou não convergente.
Informações relevantes fornecidas: a expressão explícita de a_n para cada n. Nada mais é dado.

Passo 2

Estratégia que vou usar (sem resolver ainda): vou mostrar que a sequência é limitada superiormente por um número finito e que é monotonicamente crescente; isso garante convergência. Depois calculo explicitamente o limite usando logaritmo e um limite básico \displaystyle\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1. Também vou usar a série
e=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!},
que é a definição usual do número e (valor aproximado e\approx2{,}71828). Vou provar que todos os a_n ficam abaixo de e, e então determinar o limite.

Passo 3

Provar uma cota superior: a_n<e para todo n.
Usando o binômio de Newton:
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}}.
Para cada k\in\{0,1,\dots,n\} escrevemos
\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}}=\frac{1}{k!}\cdot\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^{k}}=\frac{1}{k!}\prod_{j=0}^{k-1}\left(1-\frac{j}{n}\right).
Cada fator \left(1-\frac{j}{n}\right) é menor ou igual a 1, logo
\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}}\le\frac{1}{k!}.
Somando para k=0,\dots,n obtemos
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}\frac{1}{n^{k}} \le\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k!} <\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}=e.
Portanto a_n<e para todo n, ou seja, a sequência é limitada superiormente por e.

Passo 4

Provar que \{a_n\} é monotonicamente crescente.
Defina b_n=\ln a_n=n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right). Se mostrar que \{b_n\} é crescente, como exponencial é crescente, \{a_n\}= \{e^{b_n}\} também será crescente.
Considere a função contínua e diferenciável
f(x)=x\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right),\qquad x>0.
Calcula-se a derivada (faça sem medo, é só regra do produto e cadeia):
f'(x)=\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)+x\cdot\frac{1}{1+\tfrac{1}{x}}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) =\ln\!\left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}.
Para testar o sinal de f'(x) faça a mudança u=\frac{1}{x}>0. Defina
\varphi(u)=\ln(1+u)-\frac{u}{1+u}.
Calculando \varphi'(u)
\varphi'(u)=\frac{1}{1+u}-\frac{1}{(1+u)^{2}}=\frac{u}{(1+u)^{2}}>0\quad\text{para }u>0.
Como \varphi(0)=0 e \varphi'\!>0, conclui-se \varphi(u)>0 para todo u>0. Voltando a x (onde u=1/x), isso diz exatamente que
f'(x)=\varphi\!\left(\tfrac{1}{x}\right)>0\quad\text{para todo }x>0.
Portanto f é estritamente crescente em (0,\infty). Em particular, para inteiros positivos n temos
b_{n}=f(n)<f(n+1)=b_{n+1},
ou seja, \{b_n\} é crescente e assim \{a_n\} é crescente.

Passo 5

Conclusão de existência de limite: já temos que \{a_n\} é crescente (Passo 4) e limitada superiormente por e (Passo 3). Pelo teorema do ponto fixo monótono (ou teorema de convergência de sequências monotônicas), uma sequência crescente e limitada superiormente converge. Logo \{a_n\} é convergente e tem um limite finito L\le e.

Passo 6

Calcular o limite explicitamente.
Tomemos logaritmo para facilitar. Queremos
\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\exp\big(n\ln(1+1/n)\big) =\exp\!\left(\lim_{n\to\infty}n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)\right),
se o limite interno existir. Ponha t=\frac{1}{n}. Quando n\to\infty tem-se t\to0^{+} e
n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{\ln(1+t)}{t}.
O limite clássico
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1
pode ser mostrado rapidamente por l’Hôpital (numerador e denominador vão a 0; derivando dá \tfrac{1}{1+t}/1 que tende a 1 quando t\to0) ou por expansão em série. Assim
\lim_{n\to\infty}n\ln\!\left(1+\frac{1}{n}\right)=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}a_n=\exp(1)=e.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e. \nA sequência é convergente (para e).

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