Determinar os limites das sequencias, se ele existir. Classifique as sequencias em convergentes e não convergentes
\left\{n^{\frac{1}{n^{2}}}\right\}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_n e pede duas coisas: o limite quando n\to\infty e a classificação (convergente ou não). As informações são:
  • A sequência é \{a_n\} com a_n = n^{\frac{1}{n^{2}}}.
  • Perguntas: (1) Determinar \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n. (2) Dizer se a sequência é convergente ou não.

Passo 2

Identificar a forma indeterminada e escolher uma técnica conveniente. Quando n\to\infty temos que n\to\infty e \dfrac{1}{n^{2}}\to 0, então a_n = n^{1/n^{2}} tem a forma do tipo `` \infty^{0}’’ (base cresce para infinito, expoente vai a zero). Para tratar desse tipo é prático trabalhar com o logaritmo natural, porque transforma potência em produto. Definimos
b_n = \ln a_n.
Então, se conseguirmos \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_n, podemos recuperar o limite de a_n por exponenciação.

Passo 3

Calcular b_n. Usando as propriedades do logaritmo,
b_n = \ln\!\left(n^{\frac{1}{n^{2}}}\right) = \frac{1}{n^{2}}\ln n = \frac{\ln n}{n^{2}}.
Agora precisamos estudar o limite \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}.

Passo 4

Mostrar que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}=0. Uma maneira clara é passar para uma função contínua e usar L’Hôpital: considere f(x)=\dfrac{\ln x}{x^{2}} para x>0. Queremos \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x). As condições para L’Hôpital estão satisfeitas (forma \infty/\infty), então derivando numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x},\qquad \frac{d}{dx}(x^{2})=2x.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x^{2}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{2x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2x^{2}}=0.
Como a sequência \frac{\ln n}{n^{2}} é a amostragem da função f(x) em x=n, segue que
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}}=0.

Passo 5

Concluir sobre b_n e voltar para a_n. Encontramos
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n^{2}} = 0.
Como a função exponencial e^{t} é contínua, podemos exporenciar o limite:
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} e^{b_n} = e^{\lim_{n\to\infty} b_n} = e^{0} = 1.

Passo 6

Interpretação didática e dica para a prova. Resumo do método que sempre funciona para potências com forma indeterminada:
  • Ao ter algo do tipo \infty^{0}, \,0^{0} ou 1^{\infty}, aplique o logaritmo: transforme a potência em produto e estude o limite do logaritmo.
  • Se aparecer uma razão envolvendo \ln n e potência polinomial de n, lembre que polinômios crescem muito mais rápido que \ln n, então razões como \dfrac{\ln n}{n^{\alpha}} tendem a 0 para qualquer \alpha>0.
    Exemplo rápido: \displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{1/n}=1 segue pelo mesmo raciocínio, pois \ln(n^{1/n})=\dfrac{\ln n}{n}\to0.

Resposta

\displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n^{2}}}=1
Convergente

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