Determinar os limites das sequencias, se ele existir. Classifique as sequencias em convergentes e não convergentes
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede duas coisas: o limite quando
e a classificação (convergente ou não). As informações são:
- A sequência é
com . - Perguntas: (1) Determinar
. (2) Dizer se a sequência é convergente ou não.
Passo 2
Identificar a forma indeterminada e escolher uma técnica conveniente. Quando
temos que
e
, então
tem a forma do tipo ``
’’ (base cresce para infinito, expoente vai a zero). Para tratar desse tipo é prático trabalhar com o logaritmo natural, porque transforma potência em produto. Definimos
Então, se conseguirmos
, podemos recuperar o limite de
por exponenciação.
Passo 3
Calcular
. Usando as propriedades do logaritmo,
Agora precisamos estudar o limite
.
Passo 4
Mostrar que
. Uma maneira clara é passar para uma função contínua e usar L’Hôpital: considere
para
. Queremos
. As condições para L’Hôpital estão satisfeitas (forma
), então derivando numerador e denominador:
Pela regra de L’Hôpital,
Como a sequência
é a amostragem da função
em
, segue que
Passo 5
Concluir sobre
e voltar para
. Encontramos
Como a função exponencial
é contínua, podemos exporenciar o limite:
Passo 6
Interpretação didática e dica para a prova. Resumo do método que sempre funciona para potências com forma indeterminada:
- Ao ter algo do tipo
, ou , aplique o logaritmo: transforme a potência em produto e estude o limite do logaritmo. - Se aparecer uma razão envolvendo
e potência polinomial de , lembre que polinômios crescem muito mais rápido que , então razões como tendem a para qualquer .
Exemplo rápido:segue pelo mesmo raciocínio, pois .
Resposta
Convergente