Determinar
(a) m d c(11,99)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede-se calcular \mathrm{mdc}(11,99).
  • Os números fornecidos são 11 e 99.

Passo 2

O que é \mathrm{mdc} (definição, explicado como se eu estivesse conversando com um amigo):
  • \mathrm{mdc}(a,b) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente a e b.
  • Em outras palavras, procuramos o maior d tal que d\mid a e d\mid b.
    Essa é a definição que vamos usar para entender e checar o resultado.

Passo 3

Método escolhido e por que ele é prático para a prova (explicado passo a passo):
  • Um método muito básico e direto é usar o Algoritmo de Euclides, que é fácil de aplicar sem calculadora.
  • A ideia do Algoritmo de Euclides: se a e b são inteiros com a\ge b>0, ao dividir a por b obtemos um quociente q e resto r, isto é,
a = bq + r,\qquad 0\le r<b.
Então vale
\mathrm{mdc}(a,b)=\mathrm{mdc}(b,r).
Repetimos esse procedimento substituindo (a,b) por (b,r) até obter resto r=0. O último divisor não-nulo (o b da última divisão) é o \mathrm{mdc}.

Passo 4

Aplicando o Algoritmo de Euclides a \mathrm{mdc}(11,99) (fazer a divisão sempre do maior pelo menor):
  • Primeiro, reordeno os números para dividir o maior pelo menor: vou dividir 99 por 11.
  • Faço a divisão:
99 = 11\cdot 9 + 0.
  • Aqui o resto é 0. Pelo Algoritmo de Euclides, quando o resto é 0, o divisor nessa etapa ( 11) é o \mathrm{mdc}. Logo
\mathrm{mdc}(11,99)=11.

Passo 5

Verificação alternativa (fatoração) — útil para reforçar a intuição:
  • 11 é primo.
  • 99 = 9\cdot 11 = 3^{2}\cdot 11. (Peguei o fator 99=9\cdot11 diretamente dos números dados.)
  • Os fatores primos comuns a 11 e 99 são apenas 11. Portanto o produto dos primos comuns é 11, confirmando que \mathrm{mdc}=11.

Passo 6

Dica rápida para a prova (motivação e truque):
  • Sempre que um número divide o outro (como aqui 11\mid99), o \mathrm{mdc} é exatamente o menor desses dois números que divide o maior — nesse caso, 11. É um atalho prático para reconhecer respostas rápido.

Resposta

11

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