Mostrar que
(1+2+\ldots+n) \mid 3\left(1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}\right), \quad \forall n \geq 1

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos dado.
  • Pede-se para mostrar que, para todo n\ge 1,
(1+2+\ldots+n)\mid 3\bigl(1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}\bigr).
  • Informações relevantes que o enunciado dá (explícitas ou implícitas):
    • As somas finitas \,1+2+\ldots+n e \,1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}\, aparecem; vamos precisar das fórmulas fechadas para essas somas ou prová‑las.
    • Precisamos mostrar que a primeira soma divide exatamente a segunda multiplicada por 3; em outras palavras, mostrar que a razão
    \frac{3\bigl(1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}\bigr)}{1+2+\ldots+n}é um número inteiro para todo n\ge 1.

Passo 2

Fórmula para a soma dos primeiros n inteiros \,1+2+\ldots+n.
  • Método muito simples (pareamento): escreva a soma na ordem direta e na ordem inversa e some termo a termo:
\begin{aligned} S_1&=1+2+\cdots+(n-1)+n,\\\ S_1&=n+(n-1)+\cdots+2+1. \end{aligned}
Somando as duas linhas temos 2S_1=(n+1)+(n+1)+\cdots+(n+1) com n parcelas, logo
2S_1=n(n+1).
Portanto
S_1=1+2+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}.
  • Explicação do que cada símbolo significa: S_1 é a soma dos inteiros de 1 a n; o resultado \dfrac{n(n+1)}{2} é um número inteiro para todo n inteiro, pois n(n+1) é sempre par.

Passo 3

Fórmula para a soma dos quadrados \,1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}.
  • Vamos provar por indução a fórmula
S_2:=1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Base da indução ( n=1):
S_2=1^{2}=1, \qquad \frac{1\cdot(1+1)\cdot(2\cdot1+1)}{6}=\frac{1\cdot2\cdot3}{6}=1,
logo a fórmula vale para n=1.
Passo indutivo: suponha que a fórmula vale para um n fixo; isto é, suponha
1^{2}+2^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Adicionando (n+1)^{2} aos dois lados obtemos a soma até n+1:
1^{2}+\cdots+n^{2}+(n+1)^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2}.
Fatorando a expressão do lado direito:
\begin{aligned} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)^{2} &=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{6(n+1)^{2}}{6}\\[4pt] &=\frac{(n+1)\bigl(n(2n+1)+6(n+1)\bigr)}{6}\\[4pt] &=\frac{(n+1)\bigl(2n^{2}+n+6n+6\bigr)}{6}\\[4pt] &=\frac{(n+1)\bigl(2n^{2}+7n+6\bigr)}{6}. \end{aligned}
Agora fatoramos o polinômio quadrático:
2n^{2}+7n+6=(n+2)(2n+3),
portanto
\frac{(n+1)\bigl(2n^{2}+7n+6\bigr)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}.
Isso mostra que a fórmula vale para n+1. Pelo princípio da indução matemática, a fórmula é verdadeira para todo n\ge1:
1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.]

Passo 4

Calcular 3 vezes a soma dos quadrados e simplificar.
  • A partir da fórmula do Passo 3:
3\bigl(1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}\bigr) =3\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} =\frac{n(n+1)(2n+1)}{2}.

Passo 5

Dividir 3 vezes a soma dos quadrados pela soma dos inteiros e ver se dá inteiro.
  • Temos do Passo 2 que \,1+2+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}.
  • Então a razão pedida é
\frac{3\bigl(1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}\bigr)}{1+2+\ldots+n} =\frac{\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{2}}{\dfrac{n(n+1)}{2}}.
  • Dividindo as frações (ou cancelando fatores iguais), n(n+1)/2 cancela completamente, sobrando
\frac{3\bigl(1^{2}+\cdots+n^{2}\bigr)}{1+\cdots+n}=2n+1.
  • Observação didática: 2n+1 é um inteiro para todo n inteiro; portanto a razão é sempre um número inteiro, ou seja, a divisibilidade ocorre exatamente.

Passo 6

Conclusão e interpretação.
  • Conseguimos escrever
3\bigl(1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}\bigr)=(1+2+\ldots+n)\cdot(2n+1),
logo (1+2+\ldots+n) divide 3(1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}) para todo n\ge1.
  • Pequeno exemplo numérico para ganhar confiança: n=4.
1+2+3+4=10,\qquad 1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}=30,
então 3\cdot30=90 e 90/10=9=2\cdot4+1, bate com a fórmula.

Resposta

(1+2+\ldots+n)\mid 3\bigl(1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}\bigr)\quad\text{e o quociente é}\quad 2n+1.é

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