Mostrar que
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos dado.
- Pede-se para mostrar que, para todo
,
- Informações relevantes que o enunciado dá (explícitas ou implícitas):
- As somas finitas
e aparecem; vamos precisar das fórmulas fechadas para essas somas ou prová‑las. - Precisamos mostrar que a primeira soma divide exatamente a segunda multiplicada por
; em outras palavras, mostrar que a razão
é um número inteiro para todo . - As somas finitas
Passo 2
Fórmula para a soma dos primeiros
inteiros
.
- Método muito simples (pareamento): escreva a soma na ordem direta e na ordem inversa e some termo a termo:
Somando as duas linhas temos
com
parcelas, logo
Portanto
- Explicação do que cada símbolo significa:
é a soma dos inteiros de a ; o resultado é um número inteiro para todo inteiro, pois é sempre par.
Passo 3
Fórmula para a soma dos quadrados
.
- Vamos provar por indução a fórmula
Base da indução (
):
logo a fórmula vale para
.
Passo indutivo: suponha que a fórmula vale para um
fixo; isto é, suponha
Adicionando
aos dois lados obtemos a soma até
:
Fatorando a expressão do lado direito:
Agora fatoramos o polinômio quadrático:
portanto
Isso mostra que a fórmula vale para
. Pelo princípio da indução matemática, a fórmula é verdadeira para todo
:
Passo 4
Calcular
vezes a soma dos quadrados e simplificar.
- A partir da fórmula do Passo 3:
Passo 5
Dividir
vezes a soma dos quadrados pela soma dos inteiros e ver se dá inteiro.
- Temos do Passo 2 que
. - Então a razão pedida é
- Dividindo as frações (ou cancelando fatores iguais),
cancela completamente, sobrando
- Observação didática:
é um inteiro para todo inteiro; portanto a razão é sempre um número inteiro, ou seja, a divisibilidade ocorre exatamente.
Passo 6
Conclusão e interpretação.
- Conseguimos escrever
logo
divide
para todo
.
- Pequeno exemplo numérico para ganhar confiança:
.
então
e
, bate com a fórmula.