Determinar
e
para que se tenha:
(b)
(b)
Passo 1
O enunciado pede: determinar
e
tais que
Informações dadas: o primeiro vetor tem componentes
, o segundo vetor tem componentes
e o vetor resultado exigido é
. A tarefa é encontrar valores de
e
(números reais) que satisfaçam essa igualdade.
Passo 2
Antes de calcular, preciso lembrar como se calcula o produto vetorial (cross product) em
. Para dois vetores
o produto vetorial
tem componentes dadas por
Explicando cada termo: a primeira componente é a diferença entre o produto do segundo componente de
pelo terceiro de
e o produto do terceiro de
pelo segundo de
; as outras componentes seguem o mesmo padrão cíclico. Esse é o jeito padrão e direto de calcular.
Passo 3
Agora aplico a fórmula aos vetores
e
. Usando a fórmula, o produto vetorial fica
Simplificando cada componente:
Passo 4
Como queremos que esse resultado seja igual a
Vou resolver as duas primeiras equações isoladamente para
.]
Passo 5
Resolver a primeira equação para
:
Resolver a segunda equação para
:
Passo 6
Agora verifico se esses valores satisfazem a terceira equação
. Substituo
e
:
Mas a terceira equação exige que
. Como
, há uma contradição: os valores obtidos das duas primeiras equações não satisfazem a terceira. Portanto não existe um par
que satisfaça simultaneamente as três equações.
Passo 7
Uma verificação alternativa (mais conceitual) que confirma a impossibilidade: se
fosse de fato
, então
deveria ser ortogonal a ambos os vetores
e
. Em particular,
deveria ser ortogonal a
, então o produto escalar deveria ser zero:
Como
, o vetor
não é ortogonal a
, então não pode ser um produto vetorial com esse segundo fator. Isso confirma a conclusão algébrica: não existe solução.