Determinar m e n para que se tenha:
(b) (m, n, 2) \times(4,1,3)=(-1,-3,-8)

Passo 1

O enunciado pede: determinar m e n tais que
(m,n,2)\times(4,1,3)=(-1,-3,-8).
Informações dadas: o primeiro vetor tem componentes (m,n,2), o segundo vetor tem componentes (4,1,3) e o vetor resultado exigido é (-1,-3,-8). A tarefa é encontrar valores de m e n (números reais) que satisfaçam essa igualdade.

Passo 2

Antes de calcular, preciso lembrar como se calcula o produto vetorial (cross product) em \mathbb{R}^3. Para dois vetores
\mathbf{a}=(a_1,a_2,a_3),\qquad \mathbf{b}=(b_1,b_2,b_3),
o produto vetorial \mathbf{a}\times\mathbf{b} tem componentes dadas por
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\big(a_2b_3-a_3b_2,\; a_3b_1-a_1b_3,\; a_1b_2-a_2b_1\big).
Explicando cada termo: a primeira componente é a diferença entre o produto do segundo componente de \mathbf{a} pelo terceiro de \mathbf{b} e o produto do terceiro de \mathbf{a} pelo segundo de \mathbf{b}; as outras componentes seguem o mesmo padrão cíclico. Esse é o jeito padrão e direto de calcular.

Passo 3

Agora aplico a fórmula aos vetores \mathbf{a}=(m,n,2) e \mathbf{b}=(4,1,3). Usando a fórmula, o produto vetorial fica
(m,n,2)\times(4,1,3)=\big(n\cdot 3-2\cdot 1,\; 2\cdot 4-m\cdot 3,\; m\cdot 1-n\cdot 4\big).
Simplificando cada componente:
\big(3n-2,\; 8-3m,\; m-4n\big).

Passo 4

Como queremos que esse resultado seja igual a (-1,-3,-8)\), igualamos componente a componente e obtemos o sistema de equações \[\begin{cases} 3n-2=-1,\\[4pt] 8-3m=-3,\\[4pt] m-4n=-8. \end{cases}
Vou resolver as duas primeiras equações isoladamente para n\] e \(m.]

Passo 5

Resolver a primeira equação para n:
3n-2=-1 \implies 3n = 1 \implies n=\dfrac{1}{3}.
Resolver a segunda equação para m:
8-3m=-3 \implies -3m=-11 \implies m=\dfrac{11}{3}.

Passo 6

Agora verifico se esses valores satisfazem a terceira equação m-4n=-8. Substituo m=\dfrac{11}{3} e n=\dfrac{1}{3}:
m-4n=\dfrac{11}{3}-4\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{11}{3}-\dfrac{4}{3}=\dfrac{7}{3}.
Mas a terceira equação exige que m-4n=-8. Como \dfrac{7}{3}\neq -8, há uma contradição: os valores obtidos das duas primeiras equações não satisfazem a terceira. Portanto não existe um par (m,n) que satisfaça simultaneamente as três equações.

Passo 7

Uma verificação alternativa (mais conceitual) que confirma a impossibilidade: se \mathbf{c}=( -1,-3,-8) fosse de fato (m,n,2)\times(4,1,3), então \mathbf{c} deveria ser ortogonal a ambos os vetores (m,n,2) e (4,1,3). Em particular, \mathbf{c} deveria ser ortogonal a (4,1,3), então o produto escalar deveria ser zero:
(-1,-3,-8)\cdot(4,1,3)=-1\cdot 4 + (-3)\cdot 1 + (-8)\cdot 3 = -4-3-24=-31.
Como -31\neq 0, o vetor (-1,-3,-8) não é ortogonal a (4,1,3), então não pode ser um produto vetorial com esse segundo fator. Isso confirma a conclusão algébrica: não existe solução.

Resposta

\text{Não existem }m,n\in\mathbb{R}\text{ tais que }(m,n,2)\times(4,1,3)=(-1,-3,-8).ã

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