Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
III - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=2 y+2\right\} não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O problema pede que verifiquemos a veracidade das três afirmativas e, com isso, escolhamos a alternativa correta entre (A)–(H). As afirmativas são:
I - A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.
III - \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=2 y+2\right\} não é subespaço vetorial.
Informações dadas: as três sentenças acima — devemos decidir quais são verdadeiras e quais são falsas.

Passo 2

Recordando o que significa “subespaço vetorial” (isso é essencial para testar cada afirmativa):
Definição: um subconjunto W\subseteq\mathbb{R}^3 é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades (equivalentes a duas práticas):
  1. W contém o vetor zero \overrightarrow{0}=(0,0,0).
  2. W é fechado sob soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda u\in W.
Obs.: uma forma prática e muito usada é checar se o conjunto contém \overrightarrow{0} e se é fechado para somas e multiplicações escalares. Se alguma dessas falha, não é subespaço.

Passo 3

Analisando I: “A imagem de uma rotação em \mathbb{R}^{3} é subespaço vetorial.”
Explicação/conceito usado: uma rotação em \mathbb{R}^{3} é uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 representada por uma matriz ortogonal de determinante 1 (por exemplo, rotação em torno de um eixo). Propriedade importante: a imagem (ou imagem-imagem) de qualquer transformação linear é sempre um subespaço vetorial. Vou provar isso de forma direta:
Se T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 é linear, então para quaisquer vetores u,v e escalar \alpha temos T(u+v)=T(u)+T(v) e T(\alpha u)=\alpha T(u). A imagem \mathrm{Im}(T)=\{T(x)\mid x\in\mathbb{R}^3\}.
  • \overrightarrow{0}\in\mathrm{Im}(T) porque T(\overrightarrow{0})=\overrightarrow{0}.
  • Se y_1=T(u) e y_2=T(v) estão na imagem, então y_1+y_2=T(u)+T(v)=T(u+v), logo y_1+y_2\in\mathrm{Im}(T).
  • Se \lambda\in\mathbb{R}, \lambda y_1=\lambda T(u)=T(\lambda u)\in\mathrm{Im}(T).
Portanto \mathrm{Im}(T) é subespaço. No caso particular de uma rotação em \mathbb{R}^3 a transformação é invertível, então \mathrm{Im}(T)=\mathbb{R}^3, que é um subespaço. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Analisando II: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo A \vec{x}=\overrightarrow{0} é um subespaço vetorial.”
Explicação/conceito usado: o conjunto solução do sistema homogêneo é justamente o núcleo (ou espaço nulo) da transformação linear T(\vec{x})=A\vec{x}, denotado \ker(A)=\{\vec{x}\in\mathbb{R}^n\mid A\vec{x}=\overrightarrow{0}\}. Vou mostrar que \ker(A) é subespaço:
  • Contém o zero: A\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo \overrightarrow{0}\in\ker(A).
  • Fechado sob soma: se A\vec{x}=\overrightarrow{0} e A\vec{y}=\overrightarrow{0}, então A(\vec{x}+\vec{y})=A\vec{x}+A\vec{y}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, logo \vec{x}+\vec{y}\in\ker(A).
  • Fechado sob multiplicação escalar: se A\vec{x}=\overrightarrow{0} e \lambda\in\mathbb{R}, então A(\lambda\vec{x})=\lambda A\vec{x}=\lambda\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}, portanto \lambda\vec{x}\in\ker(A).
Assim o conjunto solução do sistema homogêneo é subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.

Passo 5

Analisando III: “ \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x=2 y+2\right\} não é subespaço vetorial.”
Explicação/conceito usado: esse conjunto é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem a equação x-2y=2. Observação importante: toda equação linear do tipo x-2y=2 com termo constante diferente de zero define uma região afim (um plano deslocado), não um subespaço (que exigiria passar pela origem).
Teste simples e direto: verificar se o zero está no conjunto. Para \overrightarrow{0}=(0,0,0) teríamos de ter 0=2\cdot 0+2, isto é 0=2, o que é falso. Logo \overrightarrow{0}\notin\{(x,y,z)\mid x=2y+2\}. Como um subespaço deve conter o vetor zero, esse conjunto não pode ser subespaço. Conclusão: a afirmativa “não é subespaço vetorial” é verdadeira — portanto a afirmação III é verdadeira.
(Observação geométrica: é um plano paralelo a um plano que passa pela origem, mas deslocado; planos deslocados não são subespaços.)

Passo 6

Resumindo as conclusões de cada item: I é verdadeira; II é verdadeira; III é verdadeira. Portanto todas as três afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(H) Todas são verdadeiras.

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