Q15: Considere as afirmativas abaixo:
I - A imagem de uma rotação em
é subespaço vetorial
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
III -
não é subespaço vetorial.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I - A imagem de uma rotação em
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
III -
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Só I e II são verdadeiras.
(E) Só III é verdadeira.
(F) Só I e III são verdadeiras.
(G) Só II e III são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O problema pede que verifiquemos a veracidade das três afirmativas e, com isso, escolhamos a alternativa correta entre (A)–(H). As afirmativas são:
I - A imagem de uma rotação em
é subespaço vetorial.
II - O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.
III -
não é subespaço vetorial.
Informações dadas: as três sentenças acima — devemos decidir quais são verdadeiras e quais são falsas.
Passo 2
Recordando o que significa “subespaço vetorial” (isso é essencial para testar cada afirmativa):
Definição: um subconjunto
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades (equivalentes a duas práticas):
-
contém o vetor zero . -
é fechado sob soma: se e , então . -
é fechado sob multiplicação escalar: se e , então .
Obs.: uma forma prática e muito usada é checar se o conjunto contém
e se é fechado para somas e multiplicações escalares. Se alguma dessas falha, não é subespaço.
Passo 3
Analisando I: “A imagem de uma rotação em
é subespaço vetorial.”
Explicação/conceito usado: uma rotação em
é uma transformação linear
representada por uma matriz ortogonal de determinante
(por exemplo, rotação em torno de um eixo). Propriedade importante: a imagem (ou imagem-imagem) de qualquer transformação linear é sempre um subespaço vetorial. Vou provar isso de forma direta:
Se
é linear, então para quaisquer vetores
e escalar
temos
e
. A imagem
.
-
porque . - Se
e estão na imagem, então , logo . - Se
, .
Portanto
é subespaço. No caso particular de uma rotação em
a transformação é invertível, então
, que é um subespaço. Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Analisando II: “O conjunto solução do sistema linear homogêneo
é um subespaço vetorial.”
Explicação/conceito usado: o conjunto solução do sistema homogêneo é justamente o núcleo (ou espaço nulo) da transformação linear
, denotado
. Vou mostrar que
é subespaço:
- Contém o zero:
, logo . - Fechado sob soma: se
e , então , logo . - Fechado sob multiplicação escalar: se
e , então , portanto .
Assim o conjunto solução do sistema homogêneo é subespaço vetorial. Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
Passo 5
Analisando III: “
não é subespaço vetorial.”
Explicação/conceito usado: esse conjunto é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
. Observação importante: toda equação linear do tipo
com termo constante diferente de zero define uma região afim (um plano deslocado), não um subespaço (que exigiria passar pela origem).
Teste simples e direto: verificar se o zero está no conjunto. Para
teríamos de ter
, isto é
, o que é falso. Logo
. Como um subespaço deve conter o vetor zero, esse conjunto não pode ser subespaço. Conclusão: a afirmativa “não é subespaço vetorial” é verdadeira — portanto a afirmação III é verdadeira.
(Observação geométrica: é um plano paralelo a um plano que passa pela origem, mas deslocado; planos deslocados não são subespaços.)
Passo 6
Resumindo as conclusões de cada item: I é verdadeira; II é verdadeira; III é verdadeira. Portanto todas as três afirmativas são verdadeiras.
Resposta
(H) Todas são verdadeiras.