Sendo |\vec{u}|=3,|\vec{v}|=4 e o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v} igual a 120^{\circ}, calcular:
(a) |\vec{u}+\vec{v}|
(b) |(\vec{u}-\vec{v}) \times \vec{u}|
(c) o volume do paralelepípedo determinado por \vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \times \vec{v}
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede três cálculos.
Dados: \;|\vec{u}|=3, \;|\vec{v}|=4, \;o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \;120^\circ.
Perguntas:
(a) Calcular \;|\vec{u}+\vec{v}|.
(b) Calcular \;|(\vec{u}-\vec{v})\times\vec{u}|.
(c) Calcular o volume do paralelepípedo determinado por \vec{u},\vec{v},\vec{u}\times\vec{v}.
Nada será resolvido aqui; só listei o que é dado e o que se pede.
Passo 2
Vamos resolver (a). Para o comprimento da soma de dois vetores existe uma fórmula muito útil, que é a versão vetorial do Teorema de Pitágoras com termo misto (semelhante à lei dos cossenos):
Agora (b). Primeiro um lembrete sobre produto vetorial (cross product):
Para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b}, a magnitude do produto vetorial satisfaz|\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\varphi,onde \varphi é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
Propriedades úteis:\vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}\quad(\text{produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero}),
Assim o problema reduz-se a calcular |\vec{u}\times\vec{v}|. Usando a fórmula do módulo do produto vetorial e o fato de que \sin120^\circ=\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}: