Sendo |\vec{u}|=3,|\vec{v}|=4 e o ângulo entre os vetores \vec{u} e \vec{v} igual a 120^{\circ}, calcular:
(a) |\vec{u}+\vec{v}|
(b) |(\vec{u}-\vec{v}) \times \vec{u}|
(c) o volume do paralelepípedo determinado por \vec{u}, \vec{v}, \vec{u} \times \vec{v}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três cálculos.
  • Dados:
    \;|\vec{u}|=3, \;|\vec{v}|=4, \;o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \;120^\circ.
  • Perguntas:
    (a) Calcular \;|\vec{u}+\vec{v}|.
    (b) Calcular \;|(\vec{u}-\vec{v})\times\vec{u}|.
    (c) Calcular o volume do paralelepípedo determinado por \vec{u},\vec{v},\vec{u}\times\vec{v}.
Nada será resolvido aqui; só listei o que é dado e o que se pede.

Passo 2

Vamos resolver (a). Para o comprimento da soma de dois vetores existe uma fórmula muito útil, que é a versão vetorial do Teorema de Pitágoras com termo misto (semelhante à lei dos cossenos):
|\vec{u}+\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 + 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}. Aqui:
  • |\vec{u}+\vec{v}| é o comprimento do vetor soma,
  • |\vec{u}| e |\vec{v}| são os comprimentos dados,
  • \cos\theta é o cosseno do ângulo entre eles.
Agora aplicamos os valores: |\vec{u}|=3, |\vec{v}|=4, \theta=120^\circ e \cos120^\circ=-\tfrac{1}{2}. Substituindo:
|\vec{u}+\vec{v}|^2 = 3^2 + 4^2 + 2\cdot 3\cdot 4 \cdot \left(-\tfrac{1}{2}\right).
Calcule passo a passo:
3^2 = 9,\qquad 4^2 = 16,\qquad 2\cdot 3\cdot 4 = 24,\qquad 24\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -12.
Logo
|\vec{u}+\vec{v}|^2 = 9 + 16 - 12 = 13.
Então
|\vec{u}+\vec{v}| = \sqrt{13}.

Passo 3

Agora (b). Primeiro um lembrete sobre produto vetorial (cross product):
  • Para quaisquer vetores \vec{a} e \vec{b}, a magnitude do produto vetorial satisfaz |\vec{a}\times\vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\varphi,onde \varphi é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
  • Propriedades úteis: \vec{a}\times\vec{a}=\vec{0}\quad(\text{produto vetorial de um vetor por ele mesmo é zero}),é
\vec{a}\times\vec{b} = -\,\vec{b}\times\vec{a}\quad(\text{antissimetria}).
Queremos |(\vec{u}-\vec{v})\times\vec{u}|. Expandimos o cross:
(\vec{u}-\vec{v})\times\vec{u} = \vec{u}\times\vec{u} - \vec{v}\times\vec{u}.
Pelo que disse, \vec{u}\times\vec{u}=\vec{0}, então
(\vec{u}-\vec{v})\times\vec{u} = -\,\vec{v}\times\vec{u}.
Tomando a magnitude e lembrando que magnitudes são insensíveis ao sinal:
|(\vec{u}-\vec{v})\times\vec{u}| = |\vec{v}\times\vec{u}| = |\vec{u}\times\vec{v}|.
Assim o problema reduz-se a calcular |\vec{u}\times\vec{v}|. Usando a fórmula do módulo do produto vetorial e o fato de que \sin120^\circ=\sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
|\vec{u}\times\vec{v}| = |\vec{u}||\vec{v}|\sin120^\circ = 3\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.
Calcule:
3\cdot 4 = 12,\qquad 12\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}.
Portanto
|(\vec{u}-\vec{v})\times\vec{u}| = 6\sqrt{3}.

Passo 4

Agora (c). O volume do paralelepípedo determinado por três vetores \vec{a},\vec{b},\vec{c} é dado por
\text{Volume} = \left| \vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}) \right|,
ou seja, o valor absoluto do produto misto (produto escalar de um com o cross dos outros).
Aqui os vetores são \vec{u},\vec{v},\vec{u}\times\vec{v}. Então o volume é
\text{Volume} = \left| \vec{u}\cdot\big(\vec{v}\times(\vec{u}\times\vec{v})\big) \right|.
Para simplificar \vec{v}\times(\vec{u}\times\vec{v}) usamos a identidade vetorial (produto vetorial triplo):
\vec{a}\times(\vec{b}\times\vec{c}) = \vec{b}(\vec{a}\cdot\vec{c}) - \vec{c}(\vec{a}\cdot\vec{b}).
Aplicando com \vec{a}=\vec{v}, \vec{b}=\vec{u}, \vec{c}=\vec{v}, obtemos
\vec{v}\times(\vec{u}\times\vec{v}) = \vec{u}\,(\vec{v}\cdot\vec{v}) - \vec{v}\,(\vec{v}\cdot\vec{u}).
Agora fazemos o produto escalar com \vec{u}:
\vec{u}\cdot\big(\vec{v}\times(\vec{u}\times\vec{v})\big) = \vec{u}\cdot\big(\vec{u}\,(\vec{v}\cdot\vec{v}) - \vec{v}\,(\vec{v}\cdot\vec{u})\big).
Distribuindo o produto escalar:
= (\vec{u}\cdot\vec{u})(\vec{v}\cdot\vec{v}) - (\vec{u}\cdot\vec{v})(\vec{v}\cdot\vec{u}).
Como o produto escalar é comutativo (\vec{v}\cdot\vec{u}=\vec{u}\cdot\vec{v}), isso vira
= |\vec{u}|^2\,|\vec{v}|^2 - (\vec{u}\cdot\vec{v})^2.
Note que isto é exatamente a expressão para o quadrado do módulo do produto vetorial:
|\vec{u}\times\vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2\,|\vec{v}|^2 - (\vec{u}\cdot\vec{v})^2.
Portanto o produto misto vale |\vec{u}\times\vec{v}|^2, e o volume é o valor absoluto deste (positivo neste caso):
\text{Volume} = |\vec{u}\times\vec{v}|^2.

Passo 5

Agora calculemos numericamente. Já tínhamos de (b):
|\vec{u}\times\vec{v}| = 6\sqrt{3}.
Logo
\text{Volume} = (6\sqrt{3})^2 = 36\cdot 3 = 108.
Se preferir verificar pelo outro caminho, compute \vec{u}\cdot\vec{v} diretamente:
\vec{u}\cdot\vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos120^\circ = 3\cdot 4\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -6,
e então
|\vec{u}|^2|\vec{v}|^2 - (\vec{u}\cdot\vec{v})^2 = 9\cdot 16 - (-6)^2 = 144 - 36 = 108,
coincidindo com o resultado acima.

Resposta

\sqrt{13}
6\sqrt{3}
108

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