Sabendo que os vetores \overrightarrow{A B}=(-2,1,4), \overrightarrow{A C}=(-1,3, m) e \overrightarrow{A D}=(-3,-1,2) determinam um tetraedro de volume 3, calcular o valor de m.

Passo 1

O enunciado dá os vetores \overrightarrow{A B}=(-2,1,4), \overrightarrow{A C}=(-1,3,m) e \overrightarrow{A D}=(-3,-1,2) e informa que eles determinam um tetraedro de volume 3.
A pergunta é: calcular o(s) valor(es) de m que tornam o volume do tetraedro igual a 3.

Passo 2

Vamos lembrar uma fórmula importante (explicada com calma): se três vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} partem do mesmo vértice e formam um tetraedro, o volume V desse tetraedro é dado por
V=\frac{1}{6}\left|(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}\right|.
Aqui \vec{u}\times\vec{v} é o produto vetorial (um vetor perpendicular aos dois), e (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} é o produto escalar entre esse vetor e \vec{w}. O valor escalar (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} também pode ser calculado como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Esse valor é chamado produto misto ou triple scalar product.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso com \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{A C} e \vec{w}=\overrightarrow{A D}, temos
3 = V = \frac{1}{6}\left|(\overrightarrow{A B}\times\overrightarrow{A C})\cdot\overrightarrow{A D}\right|.
Multiplicando ambos os lados por 6,
\left|\det\begin{pmatrix} -2 & 1 & 4\\[4pt] -1 & 3 & m\\[4pt] -3 & -1 & 2 \end{pmatrix}\right| = 18.
Aqui escrevi explicitamente o determinante 3×3 correspondente ao produto misto.]

Passo 4

Agora calculamos o determinante passo a passo. Usando a regra de Sarrus ou a expansão pela primeira linha:
\det\begin{pmatrix} -2 & 1 & 4\\[4pt] -1 & 3 & m\\[4pt] -3 & -1 & 2 \end{pmatrix} = -2\cdot(3\cdot2 - m\cdot(-1)) - 1\cdot((-1)\cdot2 - m\cdot(-3)) + 4\cdot((-1)\cdot(-1) - 3\cdot(-3)).
Agora calculo cada parte devagar:
  • Primeiro termo: -2\cdot(3\cdot2 - m\cdot(-1)) = -2\cdot(6 + m) = -12 - 2m.
  • Segundo termo: -1\cdot((-1)\cdot2 - m\cdot(-3)) = -1\cdot(-2 + 3m) = 2 - 3m.
  • Terceiro termo: 4\cdot((-1)\cdot(-1) - 3\cdot(-3)) = 4\cdot(1 + 9) = 4\cdot10 = 40.
Somando:
\det = (-12 - 2m) + (2 - 3m) + 40 = 30 - 5m.]

Passo 5

Voltando à equação do volume, temos
|30 - 5m| = 18.
Isso gera duas equações lineares:
  1. 30 - 5m = 18. Resolvendo: -5m = -12 então m = \dfrac{12}{5}.
  2. 30 - 5m = -18. Resolvendo: -5m = -48 então m = \dfrac{48}{5}.

Passo 6

Fazendo uma checagem rápida: para m=\dfrac{12}{5} temos 30-5m=18 (módulo 18); para m=\dfrac{48}{5} temos 30-5m=-18 (módulo 18). Ambos dão volume 3, então são válidos.

Resposta

\dfrac{12}{5}
\dfrac{48}{5}

Exercícios relacionados