Sabendo que os vetores \overrightarrow{A B}=(-2,1,4), \overrightarrow{A C}=(-1,3, m) e \overrightarrow{A D}=(-3,-1,2) determinam um tetraedro de volume 3, calcular o valor de m.
Passo 1
O enunciado dá os vetores \overrightarrow{A B}=(-2,1,4), \overrightarrow{A C}=(-1,3,m) e \overrightarrow{A D}=(-3,-1,2) e informa que eles determinam um tetraedro de volume 3.
A pergunta é: calcular o(s) valor(es) de m que tornam o volume do tetraedro igual a 3.
Passo 2
Vamos lembrar uma fórmula importante (explicada com calma): se três vetores \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} partem do mesmo vértice e formam um tetraedro, o volume V desse tetraedro é dado por
Aqui \vec{u}\times\vec{v} é o produto vetorial (um vetor perpendicular aos dois), e (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} é o produto escalar entre esse vetor e \vec{w}. O valor escalar (\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w} também pode ser calculado como o determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são as componentes de \vec{u},\vec{v},\vec{w}. Esse valor é chamado produto misto ou triple scalar product.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso com \vec{u}=\overrightarrow{A B}, \vec{v}=\overrightarrow{A C} e \vec{w}=\overrightarrow{A D}, temos
3 = V = \frac{1}{6}\left|(\overrightarrow{A B}\times\overrightarrow{A C})\cdot\overrightarrow{A D}\right|.
30 - 5m = 18. Resolvendo: -5m = -12 então m = \dfrac{12}{5}.
30 - 5m = -18. Resolvendo: -5m = -48 então m = \dfrac{48}{5}.
Passo 6
Fazendo uma checagem rápida: para m=\dfrac{12}{5} temos 30-5m=18 (módulo 18); para m=\dfrac{48}{5} temos 30-5m=-18 (módulo 18). Ambos dão volume 3, então são válidos.