(2,0 pontos) Considere as alternativas abaixo. Escreva V se verdadeiro, e F se falso, justificando sua resposta.
() Se \vec{a}=\overrightarrow{0}, então os vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c} são coplanares.
( ) Se dois vetores \vec{a} e \vec{b} são paralelos, então \vec{a} \cdot \vec{b}=1.
() Os vetores \vec{a}, \vec{b} e \vec{c}, são linearmente independentes se a equação x \vec{a}+y \vec{b}+z \vec{c}=\overrightarrow{0} possui uma solução não nula.
() Uma base no \mathbf{R}^{3} é formada por no máximo 3 vetores L.I.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre vetores em \mathbf{R}^3 e pede para classificá-las como verdadeiras ou falsas, justificando cada uma. Os tópicos envolvidos são: coplanaridade de vetores, produto escalar, independência linear e base de um espaço vetorial.

Passo 2

Afirmação: “Se \vec{a}=\overrightarrow{0}, então os vetores \vec{a},\vec{b} e \vec{c} são coplanares.”
Justificativa: o vetor nulo pertence a qualquer plano que contenha \vec{b} e \vec{c}, pois ele está na origem e não impõe restrição de dimensão. Logo, sempre podemos encontrar um plano que contenha \overrightarrow{0}, \vec{b} e \vec{c}.
Conclusão: Verdadeira.

Passo 3

Afirmação: “Se dois vetores \vec{a} e \vec{b} são paralelos, então \vec{a}\cdot \vec{b}=1.”
Justificativa: se \vec{a} e \vec{b} são paralelos, \vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos(0)=|\vec{a}||\vec{b}|, que nem sempre vale 1 — só vale 1 se ambos forem vetores unitários.
Conclusão: Falsa.

Passo 4

Afirmação: “Os vetores \vec{a},\vec{b} e \vec{c} são linearmente independentes se a equação x\,\vec{a}+y\,\vec{b}+z\,\vec{c}=\overrightarrow{0} possui uma solução não nula.”
Justificativa: pela definição, vetores são linearmente dependentes exatamente quando existe solução não trivial (algum escalar diferente de zero); para independência só existe a solução trivial x=y=z=0.
Conclusão: Falsa.

Passo 5

Afirmação: “Uma base no \mathbf{R}^{3} é formada por no máximo 3 vetores L.I.”
Justificativa: o espaço \mathbf{R}^3 tem dimensão 3, portanto qualquer conjunto de vetores LI não pode ter mais do que 3 vetores.
Conclusão: Verdadeira.

Resposta

(V)
(F)
(F)
(V)

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