(2,0 pontos) Considere as alternativas abaixo. Escreva V se verdadeiro, e F se falso, justificando sua resposta.
() Se
, então os vetores
e
são coplanares.
( ) Se dois vetores
e
são paralelos, então
.
() Os vetores
e
, são linearmente independentes se a equação
possui uma solução não nula.
() Uma base no
é formada por no máximo 3 vetores L.I.
() Se
( ) Se dois vetores
() Os vetores
() Uma base no
Passo 1
O enunciado apresenta quatro afirmações sobre vetores em
e pede para classificá-las como verdadeiras ou falsas, justificando cada uma. Os tópicos envolvidos são: coplanaridade de vetores, produto escalar, independência linear e base de um espaço vetorial.
Passo 2
Afirmação: “Se
, então os vetores
e
são coplanares.”
Justificativa: o vetor nulo pertence a qualquer plano que contenha e
, pois ele está na origem e não impõe restrição de dimensão. Logo, sempre podemos encontrar um plano que contenha
,
e
.
Conclusão: Verdadeira.
Justificativa: o vetor nulo pertence a qualquer plano que contenha
Conclusão: Verdadeira.
Passo 3
Afirmação: “Se dois vetores
e
são paralelos, então
.”
Justificativa: se e
são paralelos,
, que nem sempre vale
— só vale
se ambos forem vetores unitários.
Conclusão: Falsa.
Justificativa: se
Conclusão: Falsa.
Passo 4
Afirmação: “Os vetores
e
são linearmente independentes se a equação
possui uma solução não nula.”
Justificativa: pela definição, vetores são linearmente dependentes exatamente quando existe solução não trivial (algum escalar diferente de zero); para independência só existe a solução trivial .
Conclusão: Falsa.
Justificativa: pela definição, vetores são linearmente dependentes exatamente quando existe solução não trivial (algum escalar diferente de zero); para independência só existe a solução trivial
Conclusão: Falsa.
Passo 5
Afirmação: “Uma base no
é formada por no máximo 3 vetores L.I.”
Justificativa: o espaço tem dimensão
, portanto qualquer conjunto de vetores LI não pode ter mais do que
vetores.
Conclusão: Verdadeira.
Justificativa: o espaço
Conclusão: Verdadeira.
Resposta
(V)
(F)
(F)
(V)
(F)
(F)
(V)