O poste de madeira abaixo está conectado a dois cabos com diâmetro de 1 / 4 \mathrm{in}. Os esticadores nos cabos são apertados até que a tensão normal atinja 60000 \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2}. Se a tensão normal de ruptura na madeira é de 250 \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2}, determinar o menor diâmetro possível para o poste. Adotar um fator de segurança de 1,5 .

Passo 1

O enunciado dá um poste de madeira sendo tracionado (na vertical) por dois cabos de aço de diâmetro \frac{1}{4} in cujo estribo está apertado até que a tensão normal no aço atinja 60000,lb/in ^2. A madeira tem tensão de ruptura de 250,lb/in ^2 e devemos usar fator de segurança 1,5. Precisamos:
\bullet calcular a força em cada cabo a partir da tensão e da área do cabo;
\bullet obter a força resultante de compressão no poste via equilíbrio vertical dos cabos;
\bullet aplicar o fator de segurança para achar a tensão admissível na madeira;
\bullet dimensionar a área e daí o diâmetro mínimo do poste usando \sigma = \frac{P}{A}.

Passo 2

Área da seção transversal de cada cabo:
A_{\rm cabo} = \frac{\pi}{4}\bigl(0{,}25\text{ in}\bigr)^2 = \frac{\pi}{4}(0{,}0625)\approx 0{,}0491\text{ in}^2.
Tensão no cabo \sigma_{\rm cabo}=60000,lb/in ^2 \Rightarrow força no cabo
T = \sigma_{\rm cabo}\,A_{\rm cabo} = 60000\cdot 0{,}0491 \approx 2945\text{ lb}.

Passo 3

Cada cabo faz ângulo de 60^\circ com a horizontal, logo o componente vertical de cada tensão vale T\sin60^\circ. Os dois cabos somam, em módulo,
P =2\,T\,\sin60^\circ =2\cdot 2945\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\sqrt3\,\times 2945 \approx 1{,}732\cdot2945 \approx 5098\text{ lb}.

Passo 4

Com fator de segurança FS=1{,}5, a tensão admissível na madeira é
\sigma_{\rm adm} =\frac{\sigma_{\rm ruptura}}{FS} =\frac{250}{1{,}5} \approx 166{,}67\text{ lb/in}^2.

Passo 5

Área mínima do poste para não exceder a tensão admissível:
A_{\rm poste} =\frac{P}{\sigma_{\rm adm}} =\frac{5098}{166{,}67} \approx 30{,}59\text{ in}^2.
Diâmetro correspondente, com A=\pi d^2/4:
d = \sqrt{\frac{4A_{\rm poste}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4\cdot 30{,}59}{\pi}} \approx \sqrt{38{,}92} \approx 6{,}24\text{ in}.

Resposta

O diâmetro mínimo do poste deverá ser aproximadamente 6{,}24 in.

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