Determinar o maior valor possível para a carga vertical P sabendo que a tensão normal admissível é de 1000 \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2} para a madeira e 450 \mathrm{lb} / \mathrm{in}^{2} para o concreto.

Passo 1

O enunciado mostra uma coluna de madeira cilíndrica de diâmetro d=8 in apoiada num bloco de concreto cuja face de contato é um quadrado de 12\times12 in. A carga vertical P gera tensões normais de compressão na madeira e no concreto. Sabemos que a tensão admissível para a madeira é \sigma_{\text{adm,m}}=1000 lb/in ^2 e para o concreto é \sigma_{\text{adm,c}}=450 lb/in ^2. Para não falharem, devem valer
P \le \sigma_{\text{adm,m}}\;A_{\text{madeira}} \quad\text{e}\quad P \le \sigma_{\text{adm,c}}\;A_{\text{concreto}}.

Passo 2

Calculamos a área da seção transversal da madeira (círculo de diâmetro d):
A_{\text{madeira}} = \frac{\pi d^2}{4} = \frac{\pi\,(8\,\text{in})^2}{4} =16\pi\;\text{in}^2.

Passo 3

O limite de carga imposto pela madeira é
P_{\max,m} = \sigma_{\text{adm,m}}\;A_{\text{madeira}} =1000\;\frac{\text{lb}}{\text{in}^2}\times 16\pi\;\text{in}^2 =16000\pi\;\text{lb} \approx 5{,}03\times10^4\;\text{lb}.

Passo 4

A área de contato da base de concreto é
A_{\text{concreto}} =12\,\text{in}\times12\,\text{in} =144\;\text{in}^2,
portanto o limite de carga pelo concreto é
P_{\max,c} = \sigma_{\text{adm,c}}\;A_{\text{concreto}} =450\;\frac{\text{lb}}{\text{in}^2}\times144\;\text{in}^2 =64800\;\text{lb}.

Passo 5

Para garantir que nenhuma das tensões ultrapasse o admissível, tomamos o menor dos dois valores:
P_{\max} = \min\bigl(P_{\max,m},\,P_{\max,c}\bigr) =\min\bigl(16000\pi,\;64800\bigr)\;\text{lb} =16000\pi\;\text{lb} \approx5{,}03\times10^4\;\text{lb}.

Resposta

O maior valor possível de P é
P_{\max}=16000\pi\;\text{lb}\approx5{,}03\times10^4\;\text{lb}.

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