Determinar, se possível, uma matriz M in M2(R) de maneira que M^-1 A M seja diagonal, no seguinte caso:
(cc2 & 4 3 & 13),

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma matriz invertível Min M2(R) tal que M^-1AM seja diagonal, onde
A = 2 & 4 3 & 13
O conteúdo aqui é diagonalização de matrizes: precisamos achar os autovalores de A e autovetores associados, montando M com esses autovetores como colunas.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A fazendo det(A-lambda I)=0. Temos
detl(A-lambda Ir) =det2-lambda & 4 3 & 13-lambda =(2-lambda)(13-lambda)-12 =lambda^2-15lambda+14
Resolvendo lambda^2-15lambda+14=0 obtemos
lambda1=15+132=14, lambda2=15-132=1

Passo 3

Para resolvemos :
daí implica . Um autovetor associado é

Passo 4

Para resolvemos :
daí implica . Um autovetor associado é

Passo 5

Formamos
M = l[v1;;v2r] = 1 & -4 3 & 1
Como det(M)=1cdot1-(-4)cdot3=13neq0, M é invertível. Então
M^-1AM =14 & 0 0 & 1,
isto é, diagonal.

Resposta

A matriz
M = 1 & -4 3 & 1
satisfaz M^-1AM = diag(14,1).

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