Determinar as matrizes das seguintes transformações lineares em relação as bases canônicas:
T: P2(R) longrightarrow P2(R) dado por T(a x^2+b x+c)=2 a x+b.

Passo 1

O enunciado pede a matriz da transformação linear
T: P2(R) to P2(R), Tl(a x^2+b x+cr)=2a,x + b
na base canônica de P2(R). Vamos usar o procedimento padrão: aplicar T aos vetores da base canônica
1,,x,,x^2 e escrever os resultados em coordenadas nessa mesma base.

Passo 2

Seja a base canônica
e1=1, e2=x, e3=x^2
Para cada ei calculamos T(ei) e obtemos suas coordenadas em e1,e2,e3.

Passo 3

Calculando T(e1)=T(1)=T(0cdot x^2+0cdot x+1), temos
T(1)=2cdot 0cdot x + 0 = 0
Em coordenadas na base canônica isso é
T(1) = 0cdot e1 + 0cdot e2 + 0cdot e3 Longrightarrow 0 0 0

Passo 4

Calculando T(e2)=T(x)=T(0cdot x^2+1cdot x+0), obtemos
T(x)=2cdot 0cdot x + 1 = 1
Em coordenadas:
T(x) = 1cdot e1 + 0cdot e2 + 0cdot e3 Longrightarrow 1 0 0

Passo 5

Calculando T(e3)=T(x^2)=T(1cdot x^2+0cdot x+0), temos
T(x^2)=2cdot 1cdot x + 0 = 2x
Em coordenadas:
T(x^2) = 0cdot e1 + 2cdot e2 + 0cdot e3 Longrightarrow 0 2 0

Passo 6

A matriz de T na base canônica é obtida colocando as coordenadas de T(e1),T(e2),T(e3) como colunas, na ordem e1,e2,e3. Assim,
M(T) = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0

Resposta

0 & 1 & 0 0 & 0 & 2 0 & 0 & 0

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