Encontre o polinômio característico, os autovalores e os respectivos subespaços associados de cada uma das matrizes a seguir.
A=[rr3 & 5 -2 & -4];

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos, para a matriz
A = 3 & 5 -2 & -4,
o polinômio característico, seus autovalores e, para cada autovalor, o subespaço próprio associado. Vamos usar que o polinômio característico é dado por det(A - lambda I), que os autovalores são as raízes desse polinômio e que o subespaço próprio de um autovalor lambda é ker(A - lambda I).

Passo 2

Para montar o polinômio característico calculamos
A - lambda I = 3 - lambda & 5 [6pt] -2 & -4 - lambda
e então
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(-4 - lambda) - l(5 cdot (-2)r)
Expandindo, obtém-se
det(A - lambda I) = (3 - lambda)(-4 - lambda) + 10 = lambda^2 + lambda - 2
Assim, o polinômio característico de A é
p(lambda) = lambda^2 + lambda - 2
]

Passo 3

Fatorando o polinômio, temos
lambda^2 + lambda - 2 = (lambda - 1)(lambda + 2),
logo as raízes são
lambda1 = 1 e lambda2 = -2. Esses são os autovalores de A.

Passo 4

Para calculamos
Resolvendo , a primeira linha dá
Tomando , um autovetor é . Assim,
]

Passo 5

Para lambda2 = -2 calculamos
A + 2I = 3 + 2 & 5 [4pt] -2 & -4 + 2 = 5 & 5 -2 & -2
Da equação
5x + 5y = 0 implies y = -x
vemos que um autovetor é (1,-1). Logo,
ker(A + 2I) = span(1,-1)
]

Resposta

O polinômio característico é p(lambda)=lambda^2+lambda-2.
Os autovalores são lambda1=1 e lambda2=-2.
Os subespaços próprios são
ker(A - I) = span(5,-2),
ker(A + 2I) = span(1,-1)

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