Seja T a transformação linear de R^3 em R^2 dada por T(x, y, z)=(2 x+y-z, x+2 y). Fixadas as bases beta=(1,0,0),(2,-1,0),(0,1,1) e beta^prime=(-1,1),(0,1), de R^3 e R^2, respectivamente, e considerando v=(1,2,0) in R.
(a) Dê as coordenadas de v em relação à base beta.
(b) Calcule T(v).
(c) Determine as coordenadas de T(v) em relação à base beta^prime.
(d) Obtenha a matriz [T]beta^prime^beta.
(e) Calcule as coordenadas de T(v) em relação à base beta^prime, usando a matriz obtida no item (d).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon R^3 to R^2, T(x,y,z) = (2x + y - z,; x + 2y),
as bases
beta = (1,0,0),,(2,-1,0),,(0,1,1) em R^3 e
beta' = (-1,1),,(0,1) em R^2, e o vetor
v = (1,2,0)
Precisamos:
(a) achar [v]beta,
(b) calcular T(v),
(c) achar [T(v)]beta',
(d) obter a matriz [T]beta'^beta,
(e) usar essa matriz para reencontrar [T(v)]beta'.

Passo 2

Expressamos
Isso gera o sistema
Da terceira equação , e .
Logo

Passo 3

Aplicamos T em v=(1,2,0):
T(1,2,0) = l(2cdot1 + 2 - 0,;1 + 2cdot2r) = (4,,5)
Portanto T(v) = (4,5).

Passo 4

Procuramos [T(v)]beta' resolvendo
(4,5) = d1,(-1,1) + d2,(0,1) = (-d1,;d1 + d2)
Daí -d1=4Rightarrow d1=-4 e -4 + d2 =5Rightarrow d2=9.
Logo
[T(v)]beta' = (-4,,9)

Passo 5

Para montar [T]beta'^beta, calculamos T em cada vetor de beta e expressamos em beta':
  1. Para (1,0,0):
T(1,0,0) = (2,1), (2,1) = a(-1,1) + b(0,1);Rightarrow;a=-2,;b=3
  1. Para (2,-1,0):
T(2,-1,0) = (3,0), (3,0) = a(-1,1) + b(0,1);Rightarrow;a=-3,;b=3
  1. Para (0,1,1):
T(0,1,1) = (0,2), (0,2) = a(-1,1) + b(0,1);Rightarrow;a=0,;b=2
Assim
[T]beta'^beta = -2 & -3 & 0 ;3 & ;3 & 2 ,
onde cada coluna são as coordenadas de T do respectivo vetor de beta.

Passo 6

Multiplicamos [T]beta'^beta por [v]beta=(5,-2,0):
-2 & -3 & 0 ;3 & ;3 & 2 5-20 = -2cdot5 + (-3)cdot(-2) + 0 = -10 + 6 3cdot5 + 3cdot(-2) + 2cdot0 = 15 - 6 = -49
Isso confirma [T(v)]beta' = (-4,9).

Resposta

(a) [v]beta = (5,,-2,,0)
(b) T(v) = (4,5)
(c) [T(v)]beta' = (-4,,9)
(d)
[T]beta'^beta = -2 & -3 & 0 ;3 & ;3 & 2
(e) Multiplicando a matriz por (5,-2,0) obtemos (-4,9), igual ao item (c).

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