Sejam alpha=(-1,1),(0,1) e beta=(1,1,-1),(2,1,0),(3,0,1) bases de R^2 e R^3 respectivamente e
[T]beta^alpha=[rr 3 & 1 2 & 5 1 & -1 ]
(a) Determine T.
(b) Determine a matriz canônica de T.

Passo 1

O enunciado define uma transformação linear TcolonR^2toR^3 cujas bases são
alpha=(-1,1),(0,1) em R^2 e
beta=(1,1,-1),(2,1,0),(3,0,1) em R^3,
e dá a matriz de T de alpha em beta:
[T]beta^alpha = 3 & 1 2 & 5 1 & -1
Queremos (a) a fórmula de T(x,y) em coordenadas padrão e (b) a matriz de T nas bases canônicas.

Passo 2

Para um vetor genérico v=(x,y)inR^2, escrevemos
v = c1(-1,1) + c2(0,1)
Isso dá o sistema
-,c1 = x, c1 + c2 = y,
cuja solução é
c1 = -x, c2 = x + y
Portanto
[v]alpha = -x [4pt] x+y ]

Passo 3

Multiplicamos pela matriz [T]beta^alpha para obter as coordenadas de T(v) em beta:
[T(v)]beta = 3 & 1 [3pt] 2 & 5 [3pt] 1 & -1 -x [3pt] x+y = 3(-x)+(x+y)[3pt] 2(-x)+5(x+y)[3pt] 1(-x)-1(x+y) = -2x+y[3pt] 3x+5y[3pt] -2x-y ]

Passo 4

Chamando
b1=(1,1,-1), b2=(2,1,0), b3=(3,0,1),
temos
T(x,y) = (-2x+y),b1 ;+;(3x+5y),b2;+;(-2x-y),b3
Em coordenadas padrão:
T(x,y) = (-2x+y)(1,1,-1)+(3x+5y)(2,1,0)+(-2x-y)(3,0,1)

Passo 5

Somando termo a termo obtemos a fórmula explícita
T(x,y)=(-2x+8y,;x+6y,;-2y)

Passo 6

Da expressão ;T(x,y)=(-2x+8y,;x+6y,;-2y); extraímos a matriz em bases canônicas:
[T]can = -2 & 8 [4pt] 1 & 6 [4pt] 0 & -2 ]

Resposta

(a) Para todo (x,y)inR^2,
T(x,y)=(-2x+8y,;x+6y,;-2y)
(b) A matriz de T nas bases canônicas de R^2 e R^3 é
-2 & 8 1 & 6 0 & -2

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