Determinar a máxima tensão de cisalhamento causada pelo mesmo torque T, em um eixo cilíndrico maciço de mesma área e seção transversal.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Determinar a máxima tensão de cisalhamento causada pelo mesmo torque , em um eixo cilíndrico maciço de área .”
Matéria: Torção em vigas de seção circular.
O que vamos usar:
  1. A distribuição de tensão de cisalhamento numa seção circular sob torque:
    .
  2. O momento polar de inércia (ou segundo momento polar) de uma área circular de raio :
    .
  3. A relação entre área e raio :
    .
A partir do Passo 2 a gente coloca a mão na massa.

Passo 2

Na torção de uma seção circular, a tensão de cisalhamento varia linearmente com a distância tau(r) ;=; T,rJ ao centro:
taumax ;=; T,cJ
A máxima tensão ocorre na superfície, ou seja, em :

Passo 3

Precisamos do momento polar de inércia J ;=; integralA r^2,dA ;=;pi,c^42 para um círculo de raio . A fórmula é:

Passo 4

Agora relacionamos o raio c = raizApi com a área J = pi2l(raiztfracApir)^4 = pi2,A^2pi^2 = A^22,pi . Como , temos
Substituindo em :

Passo 5

Voltamos à expressão de taumax = T,cJ = T,raiztfracApi,dfracA^22pi, = T;raizA/pi;cdot;2piA^2 = 2pi,T;raizA/piA^2 :
taumax = 2pi,T;A^1/2,pi^-1/2A^2 = 2,T;pi^1/2A^3/2 = 2,T,raizpiA^3/2
Agora simplifica :

Resposta

boxed taumax ;=;2,T,raizpiA^3/2

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