Mostre que a função
satisfaz a equação
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão pede e identificar o conteúdo envolvido. O exercício nos dá uma função:
e pede para mostrar que ela satisfaz a seguinte equação diferencial parcial:
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, e então substituir essas derivadas na equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma variável auxiliar para simplificar nossos cálculos. Seja:
Assim, nossa função $ z $ fica:
Aqui, $ \varphi(u) $ e $ \psi(u) $ são funções de $ u $.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ z $ em relação a $ x $:
Usando a regra do produto e a cadeia:
Sabemos que:
Substituindo de volta:
Simplificando:
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada de $ z $ em relação a $ x $:
Calculando cada termo separadamente:
-
$ \frac{\partial}{\partial x} \varphi(u) = \varphi’(u) \left( -\frac{u}{x} \right) = -\frac{u}{x} \varphi’(u) $
-
$ \frac{\partial}{\partial x} \left( -u \varphi’(u) \right) = -\varphi’(u) \left( -\frac{u}{x} \right) - u \varphi’’(u) \left( -\frac{u}{x} \right) = \frac{u}{x} \varphi’(u) + \frac{u^{2}}{x} \varphi’’(u) $
-
$ \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{u}{x} \psi’(u) \right) = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{u}{x} \right) \psi’(u) - \frac{u}{x} \psi’’(u) \left( -\frac{u}{x} \right) $
Calculando $ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{u}{x} \right) $:
Então:
Agora, somando todos os termos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ y $:
Primeira derivada:
Usando a cadeia:
Sabemos que:
Então:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda derivada mista $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} $:
Calculando cada termo:
-
$ \frac{\partial}{\partial x} \varphi’(u) = \varphi’’(u) \left( -\frac{u}{x} \right) = -\frac{u}{x} \varphi’’(u) $
-
$ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{x} \psi’(u) \right) = -\frac{1}{x^{2}} \psi’(u) + \frac{1}{x} \psi’’(u) \left( -\frac{u}{x} \right) = -\frac{1}{x^{2}} \psi’(u) - \frac{u}{x^{2}} \psi’’(u) $
Somando os termos:
Passo 7
Finalmente, vamos calcular a segunda derivada de $ z $ em relação a $ y $:
Calculando cada termo:
-
$ \frac{\partial}{\partial y} \varphi’(u) = \varphi’’(u) \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{x} \varphi’’(u) $
-
$ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{x} \psi’(u) \right) = \frac{1}{x} \psi’’(u) \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{x^{2}} \psi’’(u) $
Somando os termos:
Passo 8
Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos substituir na equação dada:
Substituindo cada derivada:
Simplificando cada termo:
-
$ x^{2} \cdot \frac{u^{2}}{x} \varphi’’(u) = x u^{2} \varphi’’(u) $
-
$ x^{2} \cdot \frac{2u}{x^{2}} \psi’(u) = 2u \psi’(u) $
-
$ x^{2} \cdot \frac{u{2}}{x{2}} \psi’’(u) = u^{2} \psi’’(u) $
-
$ 2 x y \cdot \left( -\frac{u}{x} \varphi’’(u) \right) = -2 y u \varphi’’(u) $
-
$ 2 x y \cdot \left( -\frac{1}{x^{2}} \psi’(u) \right) = -\frac{2 y}{x} \psi’(u) $
-
$ 2 x y \cdot \left( -\frac{u}{x^{2}} \psi’’(u) \right) = -\frac{2 y u}{x^{2}} \psi’’(u) $
-
$ y^{2} \cdot \frac{1}{x} \varphi’’(u) = \frac{y^{2}}{x} \varphi’’(u) $
-
$ y^{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} \psi’’(u) = \frac{y{2}}{x{2}} \psi’’(u) $
Agora, somando todos os termos:
Passo 9
Vamos lembrar que $ u = \frac{y}{x} $. Vamos substituir $ y = u x $ onde possível para simplificar a expressão.
Substituindo:
-
$ 2 y u \varphi’’(u) = 2 x u^{2} \varphi’’(u) $
-
$ \frac{2 y}{x} \psi’(u) = 2 u \psi’(u) $
-
$ \frac{2 y u}{x^{2}} \psi’’(u) = \frac{2 u^{2}}{x} \psi’’(u) $
-
$ \frac{y^{2}}{x} \varphi’’(u) = \frac{u^{2} x^{2}}{x} \varphi’’(u) = x u^{2} \varphi’’(u) $
-
$ \frac{y{2}}{x{2}} \psi’’(u) = \frac{u^{2} x{2}}{x{2}} \psi’’(u) = u^{2} \psi’’(u) $
Substituindo na expressão anterior:
Agora, vamos simplificar os termos:
-
$ x u^{2} \varphi’’(u) - 2 x u^{2} \varphi’’(u) + x u^{2} \varphi’’(u) = 0 $
-
$ 2u \psi’(u) - 2u \psi’(u) = 0 $
-
$ u^{2} \psi’’(u) - \frac{2 u^{2}}{x} \psi’’(u) + u^{2} \psi’’(u) = 0 $
Portanto, toda a expressão soma-se a zero.
Resposta
A função $ z = x \varphi\left(\frac{y}{x}\right) + \psi\left(\frac{y}{x}\right) $ satisfaz a equação diferencial $ x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + 2 x y \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} + y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0 $.