Mostre que a função z=x varphi(yx)+psi(yx) satisfaz a equação x^2 partial^2 zpartial x^2+2 x y partial^2 zpartial x partial y+y^2 partial^2 zpartial y^2=0

Passo 1

Vamos começar resumindo o que a questão pede e identificar o conteúdo envolvido. O exercício nos dá uma função:
z = x varphi(yx) + psi(yx)
e pede para mostrar que ela satisfaz a seguinte equação diferencial parcial:
x^2 partial^2 zpartial x^2 + 2 x y partial^2 zpartial x partial y + y^2 partial^2 zpartial y^2 = 0
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, e então substituir essas derivadas na equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma variável auxiliar para simplificar nossos cálculos. Seja:
u = yx
Assim, nossa função $ z $ fica:
z
Aqui, $ \varphi(u) $ e $ \psi(u) $ são funções de $ u $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de $ z $ em relação a $ x $:
z
Usando a regra do produto e a cadeia:
x
Sabemos que:
partial zpartial x = partialpartial x [ x varphi(u) + psi(u) ]
Substituindo de volta:
partial zpartial x = varphi(u) + x varphi'(u) ( partial upartial x ) + psi'(u) ( partial upartial x )
Simplificando:
partial upartial x = -yx^2 = -ux

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada de $ z $ em relação a $ x $:
z
Calculando cada termo separadamente:
  1. $ \frac{\partial}{\partial x} \varphi(u) = \varphi’(u) \left( -\frac{u}{x} \right) = -\frac{u}{x} \varphi’(u) $
  2. $ \frac{\partial}{\partial x} \left( -u \varphi’(u) \right) = -\varphi’(u) \left( -\frac{u}{x} \right) - u \varphi’’(u) \left( -\frac{u}{x} \right) = \frac{u}{x} \varphi’(u) + \frac{u^{2}}{x} \varphi’’(u) $
  3. $ \frac{\partial}{\partial x} \left( -\frac{u}{x} \psi’(u) \right) = -\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{u}{x} \right) \psi’(u) - \frac{u}{x} \psi’’(u) \left( -\frac{u}{x} \right) $
Calculando $ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{u}{x} \right) $:
x
Então:
partial^2 zpartial x^2 = partialpartial x [ varphi(u) - u varphi'(u) - ux psi'(u) ]
Agora, somando todos os termos:
partialpartial x varphi(u) = varphi'(u) ( -ux ) = -ux varphi'(u)
Simplificando:
partialpartial x ( -u varphi'(u) ) = -varphi'(u) ( -ux ) - u varphi''(u) ( -ux ) = ux varphi'(u) + u^2x varphi''(u)

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ y $:
Primeira derivada:
z
Usando a cadeia:
y
Sabemos que:
partial zpartial y = partialpartial y [ x varphi(u) + psi(u) ]
Então:
partial zpartial y = x varphi'(u) ( partial upartial y ) + psi'(u) ( partial upartial y )
Simplificando:
partial upartial y = 1x

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda derivada mista $ \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} $:
partial^2 zpartial x partial y
Calculando cada termo:
  1. $ \frac{\partial}{\partial x} \varphi’(u) = \varphi’’(u) \left( -\frac{u}{x} \right) = -\frac{u}{x} \varphi’’(u) $
  2. $ \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{1}{x} \psi’(u) \right) = -\frac{1}{x^{2}} \psi’(u) + \frac{1}{x} \psi’’(u) \left( -\frac{u}{x} \right) = -\frac{1}{x^{2}} \psi’(u) - \frac{u}{x^{2}} \psi’’(u) $
Somando os termos:
partial^2 zpartial x partial y = partialpartial x ( partial zpartial y ) = partialpartial x ( varphi'(u) + 1x psi'(u) )

Passo 7

Finalmente, vamos calcular a segunda derivada de $ z $ em relação a $ y $:
z
Calculando cada termo:
  1. $ \frac{\partial}{\partial y} \varphi’(u) = \varphi’’(u) \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{x} \varphi’’(u) $
  2. $ \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{x} \psi’(u) \right) = \frac{1}{x} \psi’’(u) \left( \frac{1}{x} \right) = \frac{1}{x^{2}} \psi’’(u) $
Somando os termos:
y

Passo 8

Agora que temos todas as derivadas necessárias, vamos substituir na equação dada:
x^2 partial^2 zpartial x^2 + 2 x y partial^2 zpartial x partial y + y^2 partial^2 zpartial y^2
Substituindo cada derivada:
x^2 ( u^2x varphi''(u) + 2ux^2 psi'(u) + u^2x^2 psi''(u) ) + 2 x y ( -ux varphi''(u) - 1x^2 psi'(u) - ux^2 psi''(u) ) + y^2 ( 1x varphi''(u) + 1x^2 psi''(u) )
Simplificando cada termo:
  1. $ x^{2} \cdot \frac{u^{2}}{x} \varphi’’(u) = x u^{2} \varphi’’(u) $
  2. $ x^{2} \cdot \frac{2u}{x^{2}} \psi’(u) = 2u \psi’(u) $
  3. $ x^{2} \cdot \frac{u{2}}{x{2}} \psi’’(u) = u^{2} \psi’’(u) $
  4. $ 2 x y \cdot \left( -\frac{u}{x} \varphi’’(u) \right) = -2 y u \varphi’’(u) $
  5. $ 2 x y \cdot \left( -\frac{1}{x^{2}} \psi’(u) \right) = -\frac{2 y}{x} \psi’(u) $
  6. $ 2 x y \cdot \left( -\frac{u}{x^{2}} \psi’’(u) \right) = -\frac{2 y u}{x^{2}} \psi’’(u) $
  7. $ y^{2} \cdot \frac{1}{x} \varphi’’(u) = \frac{y^{2}}{x} \varphi’’(u) $
  8. $ y^{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} \psi’’(u) = \frac{y{2}}{x{2}} \psi’’(u) $
Agora, somando todos os termos:
x^2 cdot u^2x varphi''(u) = x u^2 varphi''(u)

Passo 9

Vamos lembrar que $ u = \frac{y}{x} $. Vamos substituir $ y = u x $ onde possível para simplificar a expressão.
Substituindo:
  1. $ 2 y u \varphi’’(u) = 2 x u^{2} \varphi’’(u) $
  2. $ \frac{2 y}{x} \psi’(u) = 2 u \psi’(u) $
  3. $ \frac{2 y u}{x^{2}} \psi’’(u) = \frac{2 u^{2}}{x} \psi’’(u) $
  4. $ \frac{y^{2}}{x} \varphi’’(u) = \frac{u^{2} x^{2}}{x} \varphi’’(u) = x u^{2} \varphi’’(u) $
  5. $ \frac{y{2}}{x{2}} \psi’’(u) = \frac{u^{2} x{2}}{x{2}} \psi’’(u) = u^{2} \psi’’(u) $
Substituindo na expressão anterior:
u = yx
Agora, vamos simplificar os termos:
  • $ x u^{2} \varphi’’(u) - 2 x u^{2} \varphi’’(u) + x u^{2} \varphi’’(u) = 0 $
  • $ 2u \psi’(u) - 2u \psi’(u) = 0 $
  • $ u^{2} \psi’’(u) - \frac{2 u^{2}}{x} \psi’’(u) + u^{2} \psi’’(u) = 0 $
Portanto, toda a expressão soma-se a zero.

Resposta

A função $ z = x \varphi\left(\frac{y}{x}\right) + \psi\left(\frac{y}{x}\right) $ satisfaz a equação diferencial $ x^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} + 2 x y \frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y} + y^{2} \frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} = 0 $.

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