Calcule as integrais, usando integração por partes
integral x tg^2(x) d x. Dica: tg^2(x)=1-sec ^2(x)

Passo 1

O problema pede para calcular a integral usando integração por partes. Vamos usar a identidade trigonométrica e a fórmula de integração por partes: integral xtg^2(x),dx

Passo 2

Aplicamos a identidade para reescrever a integral:

Passo 3

Para calcular integral xsec^2(x),dx, escolhemos por partes:
u = x e dv = sec^2(x),dx.
Então du = dx e , pois .
Aplicando a fórmula:

E sabemos que
Portanto

Passo 4

Agora voltamos à expressão original:

E integral xtg^2(x),dx = l(xtg(x) + lnlvertcos(x)rvertr) - integral x,dx
Logo
onde integral x,dx = x^22 é a constante de integração.

Passo 5

Fizemos a expansão trigonométrica, separamos a integral, aplicamos integração por partes, usamos a primitiva de e reunimos tudo para chegar ao resultado. Confira a forma final abaixo.

Resposta

xtan x + lnlvertcos xrvert - tfracx^22 + C

Exercícios relacionados