Determinar, pelo método dos mínimos quadrados (MMQ), a reta mas próxima dos pontos (xi, yi) para a função y=f(x) dada pela tabela:
c|ccccc x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 hline y & -8 & -4 & -1 & 0 & 7

Passo 1

Então, a gente tem aqui um exercício de matemática que pede para encontrar a reta que melhor se ajusta a um conjunto de pontos dados, usando o método dos mínimos quadrados (MMQ). A matéria envolvida é a regressão linear, e pra resolver, a gente vai precisar calcular algumas somas básicas e aplicar as fórmulas do MMQ para encontrar os coeficientes da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que foram fornecidos. Temos os seguintes pares de pontos (xi, yi):
c|ccccc x & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 hline y & -8 & -4 & -1 & 0 & 7
Vamos listar cada xi e yi para facilitar os cálculos.

Passo 3

O método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores preditos pela reta. A fórmula geral da reta que queremos é:
y = a x + b
Onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear.

Passo 4

Para encontrar os valores de a e b, precisamos calcular algumas somas:
  1. Soma dos xi: Sx = sum xi
  2. Soma dos yi: Sy = sum yi
  3. Soma dos produtos xi yi: Sxy = sum xi yi
  4. Soma dos quadrados de xi: Sx^2 = sum xi^2
Vamos calcular cada uma dessas somas com os dados fornecidos.

Passo 5

Calculando as somas:
  1. Sx = (-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 = 0
  2. Sy = (-8) + (-4) + (-1) + 0 + 7 = -6
  3. Sxy = (-2)(-8) + (-1)(-4) + (0)(-1) + (1)(0) + (2)(7) = 16 + 4 + 0 + 0 + 14 = 34
  4. Sx^2 = (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 2^2 = 4 + 1 + 0 + 1 + 4 = 10

Passo 6

Agora, vamos aplicar as fórmulas do MMQ para encontrar a e b:
a = n Sxy - Sx Syn Sx^2 - (Sx)^2
b = Sy - a Sxn
Onde n é o número de pontos, que aqui é 5.

Passo 7

Substituindo os valores que calculamos:
Para a:
a = 5 times 34 - 0 times (-6)5 times 10 - 0^2 = 170 - 050 - 0 = 17050 = 3,4
Para b:
b = -6 - 3,4 times 05 = -6 - 05 = -65 = -1,2

Resposta

A reta que melhor se ajusta aos pontos dados pelo método dos mínimos quadrados é:
y = 3,4 , x - 1,2

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