Esboce o gráfico da função abaixo:
p(x)=1+2 senh(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para esboçar o gráfico da função $ p(x) = 1 + 2 \operatorname{senh}(x) $. Vamos trabalhar com o conceito de funções hiperbólicas, especificamente a função seno hiperbólico. Para resolver isso, vamos passo a passo entender o que essa função representa e como desenhar seu gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função seno hiperbólico, senh(x). A função seno hiperbólico é definida por:
senh(x) = e^x - e^-x2
Ela é similar ao seno comum, mas está relacionada às funções exponenciais.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função dada: $ p(x) = 1 + 2 \operatorname{senh}(x) $. Isso significa que estamos multiplicando o seno hiperbólico por 2 e adicionando 1. Essa operação vai mudar a amplitude e a posição vertical do gráfico da função seno hiperbólico.

Passo 4

Vamos identificar características importantes do gráfico:
  • Interseção com o eixo y: Para encontrar onde a função corta o eixo y, calculamos $ p(0) $:
p(0)
Então, o ponto (0, 1) está no gráfico.
  • Assíntotas: A função seno hiperbólico tende ao infinito quando $ x $ tende ao infinito positivo e ao negativo. Multiplicando por 2 e adicionando 1, mantém as mesmas assíntotas horizontais.

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da função para valores grandes de $ x $:
  • Quando $ x $ tende a $ +\infty $:
x
Isso significa que a função cresce exponencialmente.
  • Quando $ x $ tende a $ -\infty $:
x
Aqui, a função também tende ao infinito negativo.

Passo 6

Vamos resumir:
  • A função passa pelo ponto (0, 1).
  • Cresce rapidamente para valores positivos de $ x $.
  • Decresce rapidamente para valores negativos de $ x $.
  • Não tem interceptos com o eixo x, já que $ p(x) $ nunca é zero.

Passo 7

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Marque o ponto (0, 1).
  • Desenhe uma curva que cresce rapidamente para a direita e decresce rapidamente para a esquerda, sem tocar o eixo x.
  • Indique que a função tende ao infinito em ambas as direções.

Resposta

O gráfico da função $ p(x) = 1 + 2 \operatorname{senh}(x) $ é uma curva que passa pelo ponto (0, 1), cresce exponencialmente para $ x > 0 $ e decresce exponencialmente para $ x < 0 $, sem interceptos com o eixo x.

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