Marés são movimentos periódicos de rebaixamento e elevação de grandes massas de água formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determinada cidade litorânea, a altura da maré é dada pela função
onde
é medido em horas a partir da meia-noite e
medido em metros a partir do nível do mar. Com base no texto acima encontre o que se pede:
Esboce o gráfico de
.
Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que descreve a altura da maré ao longo do tempo:
Aqui,
é o tempo em horas a partir da meia-noite e
é a altura da maré em metros. O assunto envolvido é funções periódicas, especificamente funções cosseno com transformações. Para esboçar o gráfico dessa função, vamos precisar descobrir algumas características importantes dela, como amplitude, período, deslocamento vertical e, se houver, deslocamento horizontal.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a amplitude da função. A amplitude é o valor que determina o quanto a função oscila acima e abaixo do seu valor central. Na nossa função, o termo que multiplica o cosseno é
, então a amplitude é
metros. Isso significa que a altura da maré varia
metros acima e abaixo da linha central.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o período da função. O período é o tempo que a função leva para completar uma oscilação completa. A fórmula geral para o período de uma função cosseno é:
Onde
é o coeficiente que está multiplicando
dentro do cosseno. No nosso caso,
. Então:
Isso significa que a maré completa um ciclo a cada 12 horas.
Passo 4
Em seguida, vamos determinar o deslocamento vertical. Esse é o valor que a função é elevada ou abaixada em relação ao eixo horizontal. Na nossa função, temos
adicionado ao cosseno, então o deslocamento vertical é
metros. Isso significa que a linha central das oscilações da maré está a
metros acima do nível do mar.
Passo 5
Como não há nenhum termo adicional dentro do cosseno além de
, não há deslocamento horizontal na nossa função. Portanto, a função começa seu ciclo a partir de
.
Passo 6
Agora que temos todas as características, vamos resumir:
- Amplitude:
metros - Período:
horas - Deslocamento vertical:
metros - Deslocamento horizontal:
horas
Passo 7
Para esboçar o gráfico:
-
Linha central: Trace uma linha horizontal em
metros. -
Amplitude: Acima e abaixo dessa linha central, marque
metros e metros, respectivamente. -
Período: Como o período é de
horas, marque os pontos chave a cada horas (pois o ciclo completo é de horas). -
Pontos-chave:
- Em
, metros. - Em
, metros. - Em
, metros. - Em
, metros. - Em
, voltamos a metros.
- Em
-
Desenhe a curva: Conecte esses pontos com uma forma de onda suave, criando uma curva cossenoidal que oscila entre
metros e metros, completando um ciclo a cada horas.
Resposta
O gráfico de
é uma curva cossenoidal com amplitude de
metros, período de
horas, e deslocamento vertical de
metros. Ele oscila entre
metros e
metros, repetindo-se a cada
horas.