Marés são movimentos periódicos de rebaixamento e elevação de grandes massas de água formadas pelos oceanos, mares e lagos. Em determinada cidade litorânea, a altura da maré é dada pela função
h(t)=4+0,3 cos (pi t6)
onde t é medido em horas a partir da meia-noite e h medido em metros a partir do nível do mar. Com base no texto acima encontre o que se pede:
Esboce o gráfico de h.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que descreve a altura da maré ao longo do tempo:
h(t) = 4 + 0,3 cos (pi t6)
Aqui, t é o tempo em horas a partir da meia-noite e h(t) é a altura da maré em metros. O assunto envolvido é funções periódicas, especificamente funções cosseno com transformações. Para esboçar o gráfico dessa função, vamos precisar descobrir algumas características importantes dela, como amplitude, período, deslocamento vertical e, se houver, deslocamento horizontal.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a amplitude da função. A amplitude é o valor que determina o quanto a função oscila acima e abaixo do seu valor central. Na nossa função, o termo que multiplica o cosseno é 0,3, então a amplitude é 0,3 metros. Isso significa que a altura da maré varia 0,3 metros acima e abaixo da linha central.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o período da função. O período é o tempo que a função leva para completar uma oscilação completa. A fórmula geral para o período de uma função cosseno é:
T = 2pib
Onde b é o coeficiente que está multiplicando t dentro do cosseno. No nosso caso, b = pi6. Então:
T = 2pipi6 = 12 horas
Isso significa que a maré completa um ciclo a cada 12 horas.

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o deslocamento vertical. Esse é o valor que a função é elevada ou abaixada em relação ao eixo horizontal. Na nossa função, temos 4 adicionado ao cosseno, então o deslocamento vertical é 4 metros. Isso significa que a linha central das oscilações da maré está a 4 metros acima do nível do mar.

Passo 5

Como não há nenhum termo adicional dentro do cosseno além de t, não há deslocamento horizontal na nossa função. Portanto, a função começa seu ciclo a partir de t = 0.

Passo 6

Agora que temos todas as características, vamos resumir:
  • Amplitude: 0,3 metros
  • Período: 12 horas
  • Deslocamento vertical: 4 metros
  • Deslocamento horizontal: 0 horas

Passo 7

Para esboçar o gráfico:
  1. Linha central: Trace uma linha horizontal em h = 4 metros.
  2. Amplitude: Acima e abaixo dessa linha central, marque 4,3 metros e 3,7 metros, respectivamente.
  3. Período: Como o período é de 12 horas, marque os pontos chave a cada 3 horas (pois o ciclo completo é de 12 horas).
  4. Pontos-chave:
    • Em t = 0, h(0) = 4 + 0,3 cos(0) = 4 + 0,3 = 4,3 metros.
    • Em t = 3, h(3) = 4 + 0,3 cos(pi cdot 36) = 4 + 0,3 cos(pi2) = 4 + 0 = 4 metros.
    • Em t = 6, h(6) = 4 + 0,3 cos(pi cdot 66) = 4 + 0,3 cos(pi) = 4 - 0,3 = 3,7 metros.
    • Em t = 9, h(9) = 4 + 0,3 cos(pi cdot 96) = 4 + 0,3 cos(3pi2) = 4 + 0 = 4 metros.
    • Em t = 12, voltamos a h(12) = 4,3 metros.
  5. Desenhe a curva: Conecte esses pontos com uma forma de onda suave, criando uma curva cossenoidal que oscila entre 3,7 metros e 4,3 metros, completando um ciclo a cada 12 horas.

Resposta

O gráfico de h(t) = 4 + 0,3 cos (pi t6) é uma curva cossenoidal com amplitude de 0,3 metros, período de 12 horas, e deslocamento vertical de 4 metros. Ele oscila entre 3,7 metros e 4,3 metros, repetindo-se a cada 12 horas.

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