Determinar x e y, de modo que z_{1}=2 x-5 y i seja igual a z_{2}=4+10 i . \quad R: x=2 e y=-2

Passo 1

O enunciado pede: determinar x e y tais que os números complexos sejam iguais. As informações dadas são:
  • z_{1}=2x-5yi.
  • z_{2}=4+10i.
    A condição a satisfazer é z_{1}=z_{2}. Não resolvemos ainda, só listamos o que foi dado e o que é pedido.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias (os coeficientes de i) também são iguais. Em outras palavras, se tivermos
a_1+b_1i = a_2+b_2i,
então necessariamente
a_1=a_2\quad\text{e}\quad b_1=b_2.
Isso acontece porque 1 e i são linearmente independentes sobre os reais — não existe combinação real não trivial que torne 1 igual a i. Então vamos aplicar essa regra ao nosso caso.

Passo 3

Identificar as partes real e imaginária em cada número:
  • Em z_{1}=2x-5yi, a parte real é 2x e a parte imaginária (coeficiente de i) é -5y.
  • Em z_{2}=4+10i, a parte real é 4 e a parte imaginária é 10.
Pelo princípio do passo anterior temos as duas equações:
2x = 4
e
-5y = 10.

Passo 4

Resolver a primeira equação \,2x=4.\n
Dividimos ambos os lados por 2:
x = \frac{4}{2}.
Como \frac{4}{2}=2, obtemos
x=2.

Passo 5

Resolver a segunda equação \,-5y=10.\n
Podemos isolar y dividindo ambos os lados por -5:
y = \frac{10}{-5}.
Como \frac{10}{-5}=-2, obtemos
y=-2.

Passo 6

Verificação (sempre útil na prova): substituir x=2 e y=-2 em z_{1}:
z_{1}=2x-5yi = 2\cdot 2 -5\cdot(-2)i = 4 + 10i.
Isso coincide exatamente com z_{2}=4+10i, logo a solução está correta.

Resposta

x=2
y=-2

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