Determinar
e
, de modo que
seja igual a
e
Passo 1
O enunciado pede: determinar
e
tais que os números complexos sejam iguais. As informações dadas são:
-
. -
.
A condição a satisfazer é. Não resolvemos ainda, só listamos o que foi dado e o que é pedido.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais são iguais e suas partes imaginárias (os coeficientes de
) também são iguais. Em outras palavras, se tivermos
então necessariamente
Isso acontece porque
e
são linearmente independentes sobre os reais — não existe combinação real não trivial que torne
igual a
. Então vamos aplicar essa regra ao nosso caso.
Passo 3
Identificar as partes real e imaginária em cada número:
- Em
, a parte real é e a parte imaginária (coeficiente de ) é . - Em
, a parte real é e a parte imaginária é .
Pelo princípio do passo anterior temos as duas equações:
e
Passo 4
Resolver a primeira equação
.\n
Dividimos ambos os lados por :
Dividimos ambos os lados por
Como
, obtemos
Passo 5
Resolver a segunda equação
.\n
Podemos isolar dividindo ambos os lados por
:
Podemos isolar
Como
, obtemos
Passo 6
Verificação (sempre útil na prova): substituir
e
em
:
Isso coincide exatamente com
, logo a solução está correta.