Determinar x e y de modo que a igualdade abaixo seja verificada:
(2 x+y)+6 i=5+(x+4 y) \cdot i

Passo 1

O enunciado pede: encontrar x e y tais que a igualdade entre os números complexos abaixo seja verdadeira:
(2x+y)+6i = 5 + (x+4y)\,i
Informações dadas:
\text{parte real do lado esquerdo} = 2x+y,\quad \text{parte imaginária do lado esquerdo} = 6á
\text{parte real do lado direito} = 5,\quad \text{parte imaginária do lado direito} = x+4yá
Pergunta: determinar os valores de x e y que tornam essa igualdade verdadeira.

Passo 2

Conceito importante (explicado passo a passo): dois números complexos \,a+bi e \,c+di são iguais se, e somente se, suas partes reais forem iguais e suas partes imaginárias forem iguais. Ou seja,
a+bi = c+di \quad\Longleftrightarrow\quad a=c \\ \text{e}\\ b=d.
Aqui cada símbolo significa:
  • a,c são as partes reais,
  • b,d são os coeficientes da unidade imaginária i.
Aplicando isso à igualdade do enunciado, obtemos um sistema de duas equações reais: uma comparando as partes reais e outra comparando as partes imaginárias.

Passo 3

Igualando as partes reais:
2x+y = 5.
Igualando as partes imaginárias:
6 = x+4y.
Logo o problema virou resolver o sistema linear
\begin{cases} 2x+y=5,\\[4pt] x+4y=6. \end{cases}]

Passo 4

Vou resolver o sistema por substituição (explico cada passo): da primeira equação isolamos y:
y = 5 - 2x.
Agora substituímos esse y na segunda equação:
6 = x + 4y = x + 4(5-2x).

Passo 5

Desenvolvendo a substituição passo a passo:
6 = x + 4(5-2x)
6 = x + 20 - 8x
6 = 20 - 7x.
Isolando x:
6 - 20 = -7x
-14 = -7x
x = 2.

Passo 6

Com x=2, voltamos à expressão que encontramos para y:
y = 5 - 2x = 5 - 2\cdot 2 = 5 - 4 = 1.

Passo 7

Verificação final (sempre bom checar na prova): substituindo em ambas as partes do número complexo:
parte real: 2x+y = 2\cdot 2 + 1 = 4 + 1 = 5, bate com a parte real à direita;
parte imaginária: x+4y = 2 + 4\cdot 1 = 2 + 4 = 6, bate com a parte imaginária à esquerda.
Tudo confere.

Resposta

x=2
y=1

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