Dê o conjugado de cada complexo:
z=7+3 i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z=7+3i e pede o conjugado desse complexo. Informações relevantes fornecidas:
  • Parte real: \operatorname{Re}(z)=7.
  • Parte imaginária: \operatorname{Im}(z)=3.

Passo 2

Definição útil (aula rápida): para um número complexo genérico \,z=a+bi, o conjugado é obtido trocando o sinal da parte imaginária. Escrevemos o conjugado como \overline{z} e temos
\overline{z}=a-bi.
Aqui \,a é a parte real e \,b é a parte imaginária. Essa é a fórmula que vamos aplicar.

Passo 3

Explicando por quê (intuição): geometricamente, \overline{z} é o reflexo de z em relação ao eixo real no plano complexo; então mantemos a mesma coordenada real e mudamos o sinal da coordenada imaginária. Álgebraicamente, isso garante propriedades úteis, por exemplo \,z\overline{z}=a^2+b^2, um número real e não-negativo.

Passo 4

Aplicando a definição ao caso concreto: para \,z=7+3i temos a=7 e b=3. Usando \overline{z}=a-bi obtemos
\overline{z}=7-3i.

Passo 5

Verificação rápida (checagem): multiplicando z pelo candidato a conjugado deve dar a^2+b^2. Calculando
(7+3i)(7-3i)=7^2-(3i)^2=49-9i^2=49-9(-1)=49+9=58,
que é igual a 7^2+3^2. Isso confirma que \,7-3i é o conjugado correto.

Resposta

7-3i

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