O enunciado pede, para cada um dos complexos abaixo, determinar o módulo e o argumento e escrever o número na forma trigonométrica. Os números fornecidos são:
Z=1+i
Z=-3+3\sqrt{3}\,i
Z=1+i\sqrt{3}
Z=1-i\sqrt{3}
Z=2+2\sqrt{3}\,i
Z=-2+2\sqrt{3}\,i
Z=-4\sqrt{3}-4\,i
Z=-7-7\,i
Z=-2-2\,i
Z=-1+i
Z=\dfrac{\sqrt{6}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,i
Z=8\,i
Z=2\,i
Z=4
Passo 2
Antes de resolver cada caso, vamos fixar a receita passo a passo (a “fórmula de bolso”) que vamos usar e explicar por que funciona. Para um número complexo Z=a+bi:
O módulo (distância ao origem) é dado por
|Z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Explicação: pensamos em Z como o ponto (a,b) no plano; a distância ao origem segue o teorema de Pitágoras.
O argumento (ângulo com o eixo real positivo) é um ângulo \theta tal que
Praticamente, podemos calcular um ângulo auxiliar \alpha=\arctan\!\left(\frac{|b|}{|a|}\right) e depois ajustar pelo quadrante:
Se a>0 e b\ge0 (Q I): \theta=\alpha.
Se a<0 e b\ge0 (Q II): \theta=\pi-\alpha.
Se a<0 e b<0 (Q III): \theta=\pi+\alpha.
Se a>0 e b<0 (Q IV): \theta=2\pi-\alpha.
Casos especiais: se a=0 e b>0 então \theta=\tfrac{\pi}{2}; se a=0 e b<0 então \theta=\tfrac{3\pi}{2}; se b=0 com a>0 então \theta=0; se b=0 com a<0 então \theta=\pi.
Vou usar ângulos notáveis conhecidos: \arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}, \arctan(\sqrt{3})=\tfrac{\pi}{3}, \arctan(1/\sqrt{3})=\tfrac{\pi}{6}. Agora aplicamos isso em cada número, passo a passo.
Passo 3
Para 1) Z=1+i: temos a=1, b=1.
Módulo:
|Z|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Ângulo: \alpha=\arctan\!\left(\frac{|b|}{|a|}\right)=\arctan(1)=\tfrac{\pi}{4}. Como a>0,b>0 (Q I), \theta=\tfrac{\pi}{4}.
Ângulo: razão \dfrac{b}{a}=\dfrac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{6}/2}=\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Assim \alpha=\arctan\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=\tfrac{\pi}{6}. Como a>0,b>0 (Q I), \theta=\tfrac{\pi}{6}.