Determinar o módulo e o argumento de cada um dos seguintes números complexos:
Determine o valor de z
z=4 i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo \;z=4i\; e pede dois valores:\n
  1. o módulo de \;z;\n
  2. o argumento de \;z.\n
    As informações relevantes fornecidas são: \;z está escrito puramente imaginário, isto é, a parte real é \;0 e a parte imaginária é \;4.

Passo 2

Vamos identificar as partes real e imaginária de \;z.\n
Um número complexo geral é escrito \;z=x+iy, onde \;x é a parte real e \;y é a parte imaginária.\n
Para \;z=4i temos\n
x=0,\qquad y=4.

Passo 3

Definição e cálculo do módulo.\n
O módulo de um número complexo \;z=x+iy é dado por\n
|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Aqui, \;x e \;y são, respectivamente, as coordenadas do ponto que representa \;z no plano complexo (e a fórmula vem do teorema de Pitágoras: distância até a origem).\n
Substituindo \;x=0 e \;y=4 temos\n
|z|=\sqrt{0^{2}+4^{2}}=\sqrt{16}=4.

Passo 4

Conceito do argumento.\n
O argumento de \;z, denotado \;\arg(z), é o ângulo (orientado) entre o eixo real positivo e o segmento que liga a origem ao ponto (x,y) que representa \;z.\n
Uma fórmula comum para o argumento é \;\arg(z)=\operatorname{atan2}(y,x), que resolve corretamente os casos em diferentes quadrantes. Outra forma é \;\arg(z)=\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right), mas essa última exige cuidado quando \;x=0 ou para ajustar o quadrante.

Passo 5

Cálculo do argumento para \;z=4i.\n
O ponto que representa \;z é (x,y)=(0,4). Esse ponto está sobre o eixo imaginário positivo. Para pontos sobre o eixo imaginário positivo o ângulo formado com o eixo real positivo é \;\frac{\pi}{2} radianos (ou 90^\circ).\n
Portanto\n
\arg(z)=\frac{\pi}{2}.
Também podemos escrever a forma polar/exponencial de \;z:\n
z=|z|\big(\cos(\arg z)+i\sin(\arg z)\big)=4\big(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\big)=4i,
ou em forma exponencial
z=4e^{i\pi/2}.

Resposta

|z|=4\n
\arg(z)=\dfrac{\pi}{2}

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