Determinar o módulo e o argumento de cada um dos seguintes números complexos:
Determine o valor de
Determine o valor de
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede dois valores:\n
- o módulo de
;\n - o argumento de
.\n
As informações relevantes fornecidas são:está escrito puramente imaginário, isto é, a parte real é e a parte imaginária é .
Passo 2
Vamos identificar as partes real e imaginária de
.\n
Um número complexo geral é escrito , onde
é a parte real e
é a parte imaginária.\n
Para temos\n
Um número complexo geral é escrito
Para
Passo 3
Definição e cálculo do módulo.\n
O módulo de um número complexo é dado por\n
O módulo de um número complexo
Aqui,
e
são, respectivamente, as coordenadas do ponto que representa
no plano complexo (e a fórmula vem do teorema de Pitágoras: distância até a origem).\n
Substituindo e
temos\n
Substituindo
Passo 4
Conceito do argumento.\n
O argumento de , denotado
, é o ângulo (orientado) entre o eixo real positivo e o segmento que liga a origem ao ponto
que representa
.\n
Uma fórmula comum para o argumento é , que resolve corretamente os casos em diferentes quadrantes. Outra forma é
, mas essa última exige cuidado quando
ou para ajustar o quadrante.
O argumento de
Uma fórmula comum para o argumento é
Passo 5
Cálculo do argumento para
.\n
O ponto que representa é
. Esse ponto está sobre o eixo imaginário positivo. Para pontos sobre o eixo imaginário positivo o ângulo formado com o eixo real positivo é
radianos (ou
).\n
Portanto\n
O ponto que representa
Portanto\n
Também podemos escrever a forma polar/exponencial de
:\n
ou em forma exponencial