Determinar o módulo e o argumento de cada um dos seguintes números complexos:
Determine o valor de
Determine o valor de
Passo 1
O enunciado dá o número complexo
e pede duas coisas: o módulo e o argumento de
. Informações fornecidas:
-
. - Portanto
e .
A partir disso precisamos calcular: - o módulo
; - o argumento
(valor principal do ângulo).
Passo 2
Definição e cálculo do módulo.
O módulo de um número complexo é a distância do ponto
à origem no plano complexo e é dado por
O módulo de um número complexo
Aqui
é a parte real e
é a parte imaginária. Aplicando ao nosso
:
Calculemos passo a passo:
Ou seja, o módulo de
é
. (Interpretando geometricamente: o vetor que representa
tem comprimento
.)
Passo 3
Definição e cálculo do argumento.
O argumento é o ângulo
entre o eixo real positivo e o vetor
. Para
com
uma forma habitual é
O argumento
mas atenção: é preciso considerar em qual quadrante
está para ajustar o ângulo se necessário. No nosso caso
e
, portanto o ponto está no primeiro quadrante e a fórmula do arctan fornece diretamente o ângulo principal (entre
e
).
Calculemos:
Sabemos que
(porque
). Assim
Em graus:
.
Passo 4
Forma polar e verificação rápida.
A forma polar de é
ou
. Substituindo
e
:
A forma polar de
o que confirma os cálculos anteriores.
Resposta
Módulo:
Argumento (principal): (ou
)
Argumento (principal):