Determinar o módulo e o argumento de cada um dos seguintes números complexos:
Determine o valor de z
z=2+2 \sqrt{3} i

Passo 1

O enunciado dá o número complexo z e pede duas coisas: o módulo e o argumento de z. Informações fornecidas:
  • z = 2 + 2\sqrt{3}\,i.
  • Portanto \Re z = 2 e \Im z = 2\sqrt{3}.
    A partir disso precisamos calcular:
  • o módulo |z|;
  • o argumento \arg(z) (valor principal do ângulo).

Passo 2

Definição e cálculo do módulo.
O módulo de um número complexo z=x+yi é a distância do ponto (x,y) à origem no plano complexo e é dado por
|z|=\sqrt{(\Re z)^2+(\Im z)^2}.
Aqui \Re z é a parte real e \Im z é a parte imaginária. Aplicando ao nosso z:
|z|=\sqrt{2^2 + (2\sqrt{3})^2}.
Calculemos passo a passo:
2^2 = 4,
(2\sqrt{3})^2 = 4\cdot 3 = 12,
4 + 12 = 16,
|z|=\sqrt{16}=4.
Ou seja, o módulo de z é 4. (Interpretando geometricamente: o vetor que representa z tem comprimento 4.)

Passo 3

Definição e cálculo do argumento.
O argumento \arg(z) é o ângulo \theta entre o eixo real positivo e o vetor (\Re z,\Im z). Para z=x+yi com x\neq 0 uma forma habitual é
\theta=\arctan\!\left(\frac{\Im z}{\Re z}\right),
mas atenção: é preciso considerar em qual quadrante (x,y) está para ajustar o ângulo se necessário. No nosso caso \Re z=2>0 e \Im z=2\sqrt{3}>0, portanto o ponto está no primeiro quadrante e a fórmula do arctan fornece diretamente o ângulo principal (entre 0 e \tfrac{\pi}{2}).
Calculemos:
\theta=\arctan\!\left(\frac{2\sqrt{3}}{2}\right)=\arctan(\sqrt{3}).
Sabemos que \arctan(\sqrt{3})=\tfrac{\pi}{3} (porque \tan\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\sqrt{3}). Assim
\arg(z)=\frac{\pi}{3}.
Em graus: \arg(z)=60^\circ.

Passo 4

Forma polar e verificação rápida.
A forma polar de z é z = |z|(\cos\theta + i\sin\theta) ou z = |z|e^{i\theta}. Substituindo |z|=4 e \theta=\tfrac{\pi}{3}:
z = 4\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right) = 4\left(\tfrac{1}{2} + i\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 + 2\sqrt{3}\,i,
o que confirma os cálculos anteriores.

Resposta

Módulo: 4
Argumento (principal): \dfrac{\pi}{3} (ou 60^\circ)

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