Determinar o módulo e o argumento de cada um dos seguintes números complexos:
Determine o valor de z
z=\sqrt{3}+i

Passo 1

O enunciado pede para determinar o módulo e o argumento do número complexo
z=\sqrt{3}+i.
Informações dadas:
z=\sqrt{3}+i.
Perguntas claras: encontrar |z| (o módulo) e \arg(z) (o argumento principal).

Passo 2

Primeiro identificamos as componentes reais e imaginárias. Para um número complexo escrito como z=a+bi temos:
a=\text{parte real},\qquad b=\text{parte imaginária}.á
No nosso caso:
a=\sqrt{3},\qquad b=1.
Observação geométrica útil: o ponto (a,b)=(\sqrt{3},1) está no primeiro quadrante (ambas coordenadas positivas), então o argumento estará entre 0 e \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Fórmula do módulo: para z=a+bi o módulo é
|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Aqui aplicamos com a=\sqrt{3} e b=1:
a^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3,\qquad b^{2}=1^{2}=1,
|z|=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
Portanto o módulo é |z|=2.

Passo 4

Fórmula do argumento (caso a>0): para z=a+bi com a>0 o argumento principal pode ser obtido por
\arg(z)=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right),
pois \tan(\theta)=\dfrac{b}{a} quando \theta é o ângulo formado pelo vetor (a,b) com o eixo x. Como estamos no primeiro quadrante, não precisamos ajustar o ângulo.

Passo 5

Calculemos a razão:
\frac{b}{a}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Sabemos que \tan\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{3}}. Logo
\arg(z)=\arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{\pi}{6}.
Em graus, \tfrac{\pi}{6}=30^\circ.

Passo 6

Verificação rápida escrevendo z na forma trigonométrica: se |z|=2 e \arg(z)=\tfrac{\pi}{6}, então
2\big(\cos\tfrac{\pi}{6}+i\sin\tfrac{\pi}{6}\big)=2\Big(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\frac{1}{2}\Big)=\sqrt{3}+i,
que é exatamente z. Confirmação feita!

Resposta

|z|=2
\arg(z)=\dfrac{\pi}{6}

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