Colocar na forma algébrica os seguintes complexos:
  1. Z=2\left[\cos \left(\frac{\pi}{4}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]
    R: \sqrt{2}+i \cdot \sqrt{2}
  2. Z=\sqrt{3}\left[\cos \left(\frac{\pi}{2}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]
    R: i. \sqrt{3}
  3. Z=2\left[\cos \left(\frac{\pi}{6}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]
    R: \sqrt{3}+i
  4. Z=3[\cos (\pi)+i \cdot \operatorname{sen}(\pi)]
R: Z=-3
  1. Z=5\left[\cos \left(\frac{3 \pi}{2}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{3 \pi}{2}\right)\right]
R: Z=-5 i
  1. Z=4\left[\cos \left(\frac{11 \pi}{6}\right)+i \cdot \operatorname{sen}\left(\frac{11 \pi}{6}\right)\right]
    R: Z=2 \sqrt{3}-2 \cdot i

Passo 1

O que o enunciado pede: colocar na forma algébrica (ou cartesiana) os complexos dados em forma trigonométrica. As seis expressões a converter são:
1)\; Z=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]
2)\; Z=\sqrt{3}\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]
3)\; Z=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]
4)\; Z=3\left[\cos\left(\pi\right)+i\sin\left(\pi\right)\right]
5)\; Z=5\left[\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)\right]
6)\; Z=4\left[\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)\right]
Informações relevantes: cada expressão está em forma trigonométrica r(\cos\theta+i\sin\theta). Queremos o correspondente a+bi.

Passo 2

Método geral (aulas rápidas e diretas para a prova): se
Z=r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big),
então a forma algébrica é
Z=a+bi
onde
a=r\cos\theta,\qquad b=r\sin\theta.
Explicando cada coisa: \;r é o módulo (um número real não negativo) e \theta é o argumento (ângulo). Na prática, basta calcular \cos\theta e \sin\theta para os ângulos dados e multiplicar por r. Lembre-se dos valores do círculo unitário para ângulos especiais:
\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{2},
\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2},
\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\quad \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,
\cos(\pi)=-1,\quad \sin(\pi)=0,
\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=0,\quad \sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1,
\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)=\sin\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}.
Dica de prova: decore esses valores básicos (30°, 45°, 90°, 180°, 270°, 330°). Agora aplicamos fórmula passo a passo.

Passo 3

Resolver o item 1. Temos \;r=2 e \theta=\frac{\pi}{4}.
Calculemos
a=r\cos\theta=2\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2},
b=r\sin\theta=2\cdot\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.
Portanto
Z=\sqrt{2}+i\sqrt{2}.

Passo 4

Resolver o item 2. Temos \;r=\sqrt{3} e \theta=\frac{\pi}{2}.
Calculemos
a=r\cos\theta=\sqrt{3}\cdot\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{3}\cdot 0=0,
b=r\sin\theta=\sqrt{3}\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=\sqrt{3}\cdot 1=\sqrt{3}.
Portanto
Z=0+i\sqrt{3}=i\sqrt{3}.

Passo 5

Resolver o item 3. Temos \;r=2 e \theta=\frac{\pi}{6}.
Calculemos
a=r\cos\theta=2\cdot\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3},
b=r\sin\theta=2\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cdot\frac{1}{2}=1.
Portanto
Z=\sqrt{3}+i.

Passo 6

Resolver o item 4. Temos \;r=3 e \theta=\pi.
Calculemos
a=r\cos\theta=3\cdot\cos(\pi)=3\cdot(-1)=-3,
b=r\sin\theta=3\cdot\sin(\pi)=3\cdot 0=0.
Portanto
Z=-3.

Passo 7

Resolver o item 5. Temos \;r=5 e \theta=\frac{3\pi}{2}.
Calculemos
a=r\cos\theta=5\cdot\cos\left(\frac{3\pi}{2}\right)=5\cdot 0=0,
b=r\sin\theta=5\cdot\sin\left(\frac{3\pi}{2}\right)=5\cdot(-1)=-5.
Portanto
Z=-5i.

Passo 8

Resolver o item 6. Temos \;r=4 e \theta=\frac{11\pi}{6}.
Calculemos
a=r\cos\theta=4\cdot\cos\left(\frac{11\pi}{6}\right)=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3},
b=r\sin\theta=4\cdot\sin\left(\frac{11\pi}{6}\right)=4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-2.
Portanto
Z=2\sqrt{3}-2i.

Resposta

Z=\sqrt{2}+i\sqrt{2}
Z=i\sqrt{3}
Z=\sqrt{3}+i
Z=-3
Z=-5i
Z=2\sqrt{3}-2i

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