Usando a 1^{\mathrm{a}} formula do Moivre, calcular:
z=(-\sqrt{3}+i)^{8}

Passo 1

O enunciado pede calcular (-\sqrt{3}+i)^{8}.
Informações dadas: a parte real do número complexo é -\sqrt{3} e a parte imaginária é 1.
Objetivo final: determinar o valor numérico de (-\sqrt{3}+i)^{8}.

Passo 2

Primeiro ensinamento importante — representação polar e módulo/argumento: para um número complexo genérico escrevemos
z = x + iy = r(\cos\theta + i\sin\theta),
onde r é o módulo e \theta é o argumento. O módulo r é dado por
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},
e o argumento \theta satisfaz \cos\theta = x/r e \sin\theta = y/r, tomando cuidado com o quadrante para escolher \theta.
Aplicando isso ao nosso número x=-\sqrt{3} e y=1: calculemos o módulo r.
r=\sqrt{(-\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=\sqrt{3+1}=\sqrt{4}=2.
Agora o argumento \theta. A razão |y/x| é
\left|\frac{y}{x}\right|=\left|\frac{1}{-\sqrt{3}}\right|=\frac{1}{\sqrt{3}}.
O ângulo referência cujo tangente vale 1/\sqrt{3} é \pi/6. Como x<0 e y>0, o ponto está no 2.º quadrante, então
\theta=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}.

Passo 3

Agora escrevemos o número na forma trigonométrica usando o r e \theta encontrados:
-\sqrt{3}+i = 2\bigl(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\bigr).

Passo 4

Segundo ensinamento importante — fórmula de De Moivre (primeira fórmula): para inteiro n,
\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr)^{n} = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).
Aplicando ao nosso caso, elevando à oitava potência:
\bigl(-\sqrt{3}+i\bigr)^{8} = \bigl[2\bigl(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\bigr)\bigr]^{8} = 2^{8}\bigl(\cos(8\cdot\frac{5\pi}{6}) + i\sin(8\cdot\frac{5\pi}{6})\bigr).
Calculemos 2^{8} e o argumento 8\cdot\frac{5\pi}{6}:
2^{8}=256,
8\cdot\frac{5\pi}{6}=\frac{40\pi}{6}=\frac{20\pi}{3}.

Passo 5

Reduzimos o ângulo \frac{20\pi}{3} pelo período 2\pi. Como \frac{20\pi}{3} = 6\pi + \frac{2\pi}{3} e 6\pi é múltiplo de 2\pi, o ângulo equivalente no intervalo principal é \frac{2\pi}{3}. Portanto
\bigl(-\sqrt{3}+i\bigr)^{8} = 256\bigl(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\bigr).
Avaliamo-las: \cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2} e \sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}. Multiplicando por 256,
\text{parte real: }256\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)=-128,
\text{parte imaginária: }256\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=128\sqrt{3}.á

Passo 6

Interpretação final dos resultados parciais: juntando a parte real e a parte imaginária calculadas acima obtemos o número complexo resultante na forma a+bi, com a=-128 e b=128\sqrt{3}. Seguindo a solicitação do enunciado, a resposta final é fornecida abaixo.

Resposta

-128 + 128\sqrt{3}\,i

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