Usando a 1^{\mathrm{a}} formula do Moivre, calcular: z=(-\sqrt{3}+i)^{8}
Passo 1
O enunciado pede calcular (-\sqrt{3}+i)^{8}.
Informações dadas: a parte real do número complexo é -\sqrt{3} e a parte imaginária é 1.
Objetivo final: determinar o valor numérico de (-\sqrt{3}+i)^{8}.
Passo 2
Primeiro ensinamento importante — representação polar e módulo/argumento: para um número complexo genérico escrevemos
z = x + iy = r(\cos\theta + i\sin\theta),
onde r é o módulo e \theta é o argumento. O módulo r é dado por
r = \sqrt{x^{2}+y^{2}},
e o argumento \theta satisfaz \cos\theta = x/r e \sin\theta = y/r, tomando cuidado com o quadrante para escolher \theta.
Aplicando isso ao nosso número x=-\sqrt{3} e y=1: calculemos o módulo r.
Reduzimos o ângulo \frac{20\pi}{3} pelo período 2\pi. Como \frac{20\pi}{3} = 6\pi + \frac{2\pi}{3} e 6\pi é múltiplo de 2\pi, o ângulo equivalente no intervalo principal é \frac{2\pi}{3}. Portanto
Interpretação final dos resultados parciais: juntando a parte real e a parte imaginária calculadas acima obtemos o número complexo resultante na forma a+bi, com a=-128 e b=128\sqrt{3}. Seguindo a solicitação do enunciado, a resposta final é fornecida abaixo.