Calcule
\iint_{S} x d y d z+y d x d z+z d x d y
onde S é a superfície do cilindro
x^{2}+y^{2}=a^{2}, \quad \text { com } \quad-H \leq z \leq H

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x\,dy\,dz + y\,dx\,dz + z\,dx\,dy
onde S é a superfície do cilindro
x^{2}+y^{2}=a^{2},\qquad -H\le z\le H.
Informações relevantes dadas:
  • A superfície S é a superfície lateral do cilindro de raio a e altura 2H (varia z de -H a H).
  • A integral está escrita na forma x\,dy\,dz + y\,dx\,dz + z\,dx\,dy, que corresponde a um fluxo de um campo vetorial através de S.
    O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral em função de a e H.

Passo 2

Interpretação da integral e escolha do método.
  • A forma diferencial exibida é exatamente a forma de fluxo de um campo vetorial F através de S. Se definirmos
F(x,y,z)=(x,y,z),
então a integral pode ser lida como o fluxo de F através de S, isto é
\iint_{S} x\,dy\,dz + y\,dx\,dz + z\,dx\,dy=\iint_{S} F\cdot n\,dS,
onde n\,dS é o elemento vetorial de área orientado. Vou resolver parametrizando a superfície lateral do cilindro em coordenadas cilíndricas — é o método mais direto aqui e evita passos extra de decomposição. Depois faço uma checagem alternativa usando o Teorema da Divergência para confirmar o resultado.

Passo 3

Breve explicação sobre parametrização e elemento vetorial de área.
  • Para uma superfície parametrizada por r(u,v) com parâmetros u,v, o elemento vetorial de área orientado é
r_{u}\times r_{v}\,du\,dv,
e o fluxo do campo F é
\iint F\cdot (r_{u}\times r_{v})\,du\,dv.
  • No cilindro usamos como parâmetros \theta (ângulo) e z. A parametrização que coloca a normal apontando para fora é a mais conveniente porque corresponde à orientação “externa” do cilindro.

Passo 4

Parametrização da superfície lateral S.
  • Parametrização:
r(\theta,z)=\bigl(a\cos\theta,\;a\sin\theta,\;z\bigr),
com \theta\in[0,2\pi] e z\in[-H,H].
  • Derivadas parciais:
r_{\theta}(\theta,z)=\bigl(-a\sin\theta,\;a\cos\theta,\;0\bigr), \qquad r_{z}(\theta,z)=\bigl(0,\;0,\;1\bigr).

Passo 5

Cálculo do elemento vetorial de área r_{\theta}\times r_{z}.
  • Produto vetorial:
r_{\theta}\times r_{z}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -a\sin\theta & a\cos\theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \bigl(a\cos\theta,\;a\sin\theta,\;0\bigr).
  • Observação: \bigl(a\cos\theta,a\sin\theta,0\bigr) aponta radialmente para fora, então a orientação é a saída (outward), adequada para o fluxo externo.

Passo 6

Avaliar F na parametrização e o produto escalar com r_{\theta}\times r_{z}.
  • F na superfície vale
F\bigl(r(\theta,z)\bigr)=\bigl(a\cos\theta,\;a\sin\theta,\;z\bigr).
  • Produto escalar:
F\bigl(r(\theta,z)\bigr)\cdot\bigl(r_{\theta}\times r_{z}\bigr) =(a\cos\theta)(a\cos\theta)+(a\sin\theta)(a\sin\theta)+z\cdot 0 =a^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=a^{2}.
Portanto o integrando reduz-se à constante a^{2}.

Passo 7

Integral sobre os parâmetros \theta e z.
  • A integral torna-se
\iint_{S}F\cdot n\,dS=\int_{0}^{2\pi}\int_{-H}^{H} a^{2}\,dz\,d\theta.
  • Calcule a integral em z:
\int_{-H}^{H} a^{2}\,dz = a^{2}\cdot(2H).
  • Agora a integral em \theta:
\int_{0}^{2\pi} a^{2}\cdot(2H)\,d\theta = a^{2}\cdot(2H)\cdot(2\pi)=4\pi a^{2}H.

Passo 8

Verificação alternativa (cheque rápido pelo Teorema da Divergência).
  • Divergência de F:
\operatorname{div}F=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=1+1+1=3.
  • Considere o volume fechado V limitado pelo cilindro e as duas tampas. Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{\partial V}F\cdot n\,dS=\iiint_{V}\operatorname{div}F\,dV=3\cdot(\text{volume})=3\cdot(\pi a^{2}\cdot 2H)=6\pi a^{2}H.
  • Fluxo através das duas tampas (superfícies planas z=H e z=-H):
    • No topo ( z=H), n=(0,0,1) e F\cdot n = z = H, então fluxo = H\cdot área =H\pi a^{2}.
    • Na base ( z=-H), n=(0,0,-1) e F\cdot n = z(-1)=-z=H, então fluxo = H\pi a^{2}.
    • Soma das tampas = 2H\pi a^{2}.
  • Portanto fluxo lateral = fluxo total - fluxo tampas = 6\pi a^{2}H - 2\pi a^{2}H = 4\pi a^{2}H, confirma o resultado acima.

Resposta

4\pi a^{2}H

Exercícios relacionados