x^{2}+y^{2}=a^{2}, \quad \text { com } \quad-H \leq z \leq H
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
\iint_{S} x\,dy\,dz + y\,dx\,dz + z\,dx\,dy
onde S é a superfície do cilindro
x^{2}+y^{2}=a^{2},\qquad -H\le z\le H.
Informações relevantes dadas:
A superfície S é a superfície lateral do cilindro de raio a e altura 2H (varia z de -H a H).
A integral está escrita na forma x\,dy\,dz + y\,dx\,dz + z\,dx\,dy, que corresponde a um fluxo de um campo vetorial através de S.
O que se pede: calcular o valor numérico dessa integral em função de a e H.
Passo 2
Interpretação da integral e escolha do método.
A forma diferencial exibida é exatamente a forma de fluxo de um campo vetorial F através de S. Se definirmos
F(x,y,z)=(x,y,z),
então a integral pode ser lida como o fluxo de F através de S, isto é
onde n\,dS é o elemento vetorial de área orientado. Vou resolver parametrizando a superfície lateral do cilindro em coordenadas cilíndricas — é o método mais direto aqui e evita passos extra de decomposição. Depois faço uma checagem alternativa usando o Teorema da Divergência para confirmar o resultado.
Passo 3
Breve explicação sobre parametrização e elemento vetorial de área.
Para uma superfície parametrizada por r(u,v) com parâmetros u,v, o elemento vetorial de área orientado é
r_{u}\times r_{v}\,du\,dv,
e o fluxo do campo F é
\iint F\cdot (r_{u}\times r_{v})\,du\,dv.
No cilindro usamos como parâmetros \theta (ângulo) e z. A parametrização que coloca a normal apontando para fora é a mais conveniente porque corresponde à orientação “externa” do cilindro.