Determinar nabla cdot F (divergente) e nabla times F (rotacional).
F(x, y, z)=z i+x j+y k.

Passo 1

Beleza, temos aqui um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar o divergente ( nabla cdot F) e o rotacional ( nabla times F) do campo vetorial F(x, y, z) = z i + x j + y k. Para resolver isso, vamos usar as definições de divergente e rotacional, que envolvem derivadas parciais dos componentes de F.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente. A fórmula do divergente para um campo vetorial F = Fx i + Fy j + Fz k é:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, Fx = z, Fy = x e Fz = y.

Passo 3

Vamos calcular cada derivada parcial separadamente:
  1. partial Fxpartial x = partial zpartial x = 0 (porque z não depende de x)
  2. partial Fypartial y = partial xpartial y = 0 (porque x não depende de y)
  3. partial Fzpartial z = partial ypartial z = 0 (porque y não depende de z)

Passo 4

Agora, somando essas derivadas:
nabla cdot F = 0 + 0 + 0 = 0
Então, o divergente de F é 0.

Passo 5

Agora, vamos calcular o rotacional. A fórmula do rotacional para o campo vetorial F é:
nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) k

Passo 6

Vamos substituir os componentes de F na fórmula:
  1. partial Fzpartial y = partial ypartial y = 1
  2. partial Fypartial z = partial xpartial z = 0
  3. partial Fxpartial z = partial zpartial z = 1
  4. partial Fzpartial x = partial ypartial x = 0
  5. partial Fypartial x = partial xpartial x = 1
  6. partial Fxpartial y = partial zpartial y = 0

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão do rotacional:
nabla times F = (1 - 0)i + (1 - 0)j + (1 - 0)k = i + j + k

Resposta

O divergente de F é 0 e o rotacional de F é i + j + k.

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