1. Se f(x)=a x+b mostre que vale .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma função afim f(x)=a x+b preserva a média aritmética de dois pontos, ou seja, que f((x₁+x₂)/2)=(f(x₁)+f(x₂))/2. Vamos usar álgebra elementar e a definição de função afim para isso.

Passo 2

Começamos substituindo o argumento (x₁+x₂)/2 na expressão de f:
fl(tfracx1+x22r)=acdottfracx1+x22+b
Aplicando a distributividade do produto sobre a soma, temos:
=acdottfracx12+acdottfracx22+b=tfraca x1+a x22+b

Passo 3

Agora escrevemos b como 2b/2 para somar frações com mesmo denominador e reorganizar termos:
fl(tfracx1+x22r)=tfraca x1+a x22+tfrac2b2=tfraca x1+a x2+2b2
Podemos agrupar a x1+b e a x2+b, que são exatamente f(x₁) e f(x₂):
=tfrac(a x1+b)+(a x2+b)2=tfracf(x1)+f(x2)2

Resposta

fl(tfracx1+x22r)=tfracf(x1)+f(x2)2

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