Determinar nabla f (gradiente) e nabla^2 f( Laplaciano):
f(x, y, z)=x^2 y+3 y z^2-2 x^2 z.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A função que temos é $ f(x, y, z) = x^{2} y + 3 y z^{2} - 2 x^{2} z $. Precisamos encontrar o gradiente dessa função, representado por $ \vec{\nabla} f $, e o Laplaciano, que é $ \nabla^{2} f $. Para isso, vamos usar derivadas parciais em relação a cada variável $ x $, $ y $ e $ z $.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o gradiente $ \vec{\nabla} f $. O gradiente é um vetor que mostra a direção e a taxa de maior aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis. Então, precisamos encontrar $ \frac{\partial f}{\partial x} $, $ \frac{\partial f}{\partial y} $ e $ \frac{\partial f}{\partial z} $.

Passo 3

Vamos começar calculando $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
partial fpartial x
Como $ y $ e $ z $ são tratadas como constantes em relação a $ x $, temos:
partial fpartial x = partialpartial x (x^2 y) + partialpartial x (3 y z^2) - partialpartial x (2 x^2 z)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
partial fpartial y
Aqui, $ x $ e $ z $ são constantes em relação a $ y $:
partial fpartial y = partialpartial y (x^2 y) + partialpartial y (3 y z^2) - partialpartial y (2 x^2 z)

Passo 5

Por último, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial z} $:
partial fpartial z
Aqui, $ x $ e $ y $ são constantes em relação a $ z $:
partial fpartial z = partialpartial z (x^2 y) + partialpartial z (3 y z^2) - partialpartial z (2 x^2 z)

Passo 6

Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar o gradiente $ \vec{\nabla} f $:
nabla f

Passo 7

Agora vamos calcular o Laplaciano $ \nabla^{2} f $. O Laplaciano é a soma das segundas derivadas parciais em relação a cada variável:
nabla^2 f

Passo 8

Começando com $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} $. Já sabemos que $ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy - 4xz $, então:
partial^2 fpartial x^2

Passo 9

Em seguida, vamos para $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} $. Já sabemos que $ \frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 3 z^{2} $, então:
partial^2 fpartial y^2

Passo 10

Por último, calculamos $ \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} $. Já sabemos que $ \frac{\partial f}{\partial z} = 6yz - 2x^{2} $, então:
partial^2 fpartial z^2

Passo 11

Agora, somamos todas as segundas derivadas para obter o Laplaciano:
nabla^2 f = (2y - 4z) + 0 + 6y = 8y - 4z

Resposta

O gradiente de $ f $ é $ \vec{\nabla} f = \left( 2xy - 4xz,\ x^{2} + 3 z^{2},\ 6yz - 2x^{2} \right) $ e o Laplaciano de $ f $ é $ \nabla^{2} f = 8y - 4z $.

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