Determinar
(gradiente) e
Laplaciano):
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A função que temos é $ f(x, y, z) = x^{2} y + 3 y z^{2} - 2 x^{2} z $. Precisamos encontrar o gradiente dessa função, representado por $ \vec{\nabla} f $, e o Laplaciano, que é $ \nabla^{2} f $. Para isso, vamos usar derivadas parciais em relação a cada variável $ x $, $ y $ e $ z $.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gradiente $ \vec{\nabla} f $. O gradiente é um vetor que mostra a direção e a taxa de maior aumento da função. Ele é formado pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a cada uma das variáveis. Então, precisamos encontrar $ \frac{\partial f}{\partial x} $, $ \frac{\partial f}{\partial y} $ e $ \frac{\partial f}{\partial z} $.
Passo 3
Vamos começar calculando $ \frac{\partial f}{\partial x} $:
Como $ y $ e $ z $ são tratadas como constantes em relação a $ x $, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y} $:
Aqui, $ x $ e $ z $ são constantes em relação a $ y $:
Passo 5
Por último, vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial z} $:
Aqui, $ x $ e $ y $ são constantes em relação a $ z $:
Passo 6
Agora que temos todas as derivadas parciais, podemos montar o gradiente $ \vec{\nabla} f $:
Passo 7
Agora vamos calcular o Laplaciano $ \nabla^{2} f $. O Laplaciano é a soma das segundas derivadas parciais em relação a cada variável:
Passo 8
Começando com $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} $. Já sabemos que $ \frac{\partial f}{\partial x} = 2xy - 4xz $, então:
Passo 9
Em seguida, vamos para $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} $. Já sabemos que $ \frac{\partial f}{\partial y} = x^{2} + 3 z^{2} $, então:
Passo 10
Por último, calculamos $ \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} $. Já sabemos que $ \frac{\partial f}{\partial z} = 6yz - 2x^{2} $, então:
Passo 11
Agora, somamos todas as segundas derivadas para obter o Laplaciano:
Resposta
O gradiente de $ f $ é $ \vec{\nabla} f = \left( 2xy - 4xz,\ x^{2} + 3 z^{2},\ 6yz - 2x^{2} \right) $ e o Laplaciano de $ f $ é $ \nabla^{2} f = 8y - 4z $.