Determinar nabla f (gradiente) e nabla^2 f( Laplaciano):
f=e^2 x-2 y-2 z.

Passo 1

Primeiro, resumindo o enunciado: temos a função f(x,y,z)=e^2x-2y-2z. O objetivo é calcular o gradiente nabla f e o laplaciano nabla^2 f, o que envolve derivadas parciais de primeira e segunda ordem.

Passo 2

Para encontrar o gradiente, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia. Aplicando em cada variável, obtemos:
partial fpartial x = 2 e^2x-2y-2z
partial fpartial y = -2 e^2x-2y-2z
partial fpartial z = -2 e^2x-2y-2z

Passo 3

Reunindo essas componentes em um vetor, o gradiente fica:
nabla f = 2 e^2x-2y-2z -2 e^2x-2y-2z -2 e^2x-2y-2z

Passo 4

Agora, para o laplaciano, precisamos das derivadas parciais de segunda ordem. Derivando novamente cada componente, obtemos:
partial^2 fpartial x^2 = 4 e^2x-2y-2z
partial^2 fpartial y^2 = 4 e^2x-2y-2z
partial^2 fpartial z^2 = 4 e^2x-2y-2z

Passo 5

Somando essas segundas derivadas, chega-se ao laplaciano:
nabla^2 f = 4 e^2x-2y-2z + 4 e^2x-2y-2z + 4 e^2x-2y-2z = 12 e^2x-2y-2z

Resposta

nabla f = (2 e^2x-2y-2z,,-2 e^2x-2y-2z,,-2 e^2x-2y-2z), nabla^2 f = 12 e^2x-2y-2z.

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