Determinar
(gradiente) e
Laplaciano):
.
Passo 1
Primeiro, resumindo o enunciado: temos a função
. O objetivo é calcular o gradiente
e o laplaciano
, o que envolve derivadas parciais de primeira e segunda ordem.
Passo 2
Para encontrar o gradiente, calculamos as derivadas parciais de primeira ordem usando a regra da cadeia. Aplicando em cada variável, obtemos:
Passo 3
Reunindo essas componentes em um vetor, o gradiente fica:
Passo 4
Agora, para o laplaciano, precisamos das derivadas parciais de segunda ordem. Derivando novamente cada componente, obtemos:
Passo 5
Somando essas segundas derivadas, chega-se ao laplaciano: