Sejam X subset R e f, g: X R funções limitadas.
Conclua que se f, g forem funções positivas, isto é, f(x)>0 e g(x)>0 para todo x in x, então sup (f cdot g) <= sup f cdot sup g e que inf (f cdot g) >= inf f cdot inf g.

Passo 1

O enunciado diz que temos um conjunto X e duas funções f,g: X→ℝ que são limitadas e positivas (isto é, f(x)>0 e g(x)>0 para todo x em X). A tarefa é provar duas desigualdades envolvendo supremo e ínfimo do produto f·g. Vamos precisar do conceito de supremo (menor cotasuperior) e de ínfimo (maior cota inferior) e da propriedade de que, se M é uma cota superior de um conjunto A, então sup A ≤ M, e se m é uma cota inferior de A, então inf A ≥ m.

Passo 2

Primeiro, vamos provar que sup(f·g) ≤ sup f · sup g. Denotemos M = sup f e N = sup g. Por definição de supremo, temos para todo x em X:
f(x) <= M,
g(x) <= N
Como f(x) e g(x) são não negativas, podemos multiplicar as desigualdades sem inverter sinais e obter:
f(x),g(x) <= M,N
Isso mostra que M·N é uma cota superior para o conjunto {f(x)g(x): x∈X}. Portanto, pelo fato de supremo ser a menor das cotas superiores,
sup(fcdot g) <= M,N = (sup f),(sup g)

Passo 3

Agora, vamos mostrar que inf(f·g) ≥ inf f · inf g. Denotemos m = inf f e n = inf g. Por definição de ínfimo, para todo x em X:
m <= f(x),
n <= g(x)
Multiplicando essas desigualdades (e lembrando que m,n>0), temos:
m,n <= f(x),g(x)
Isso diz que m·n é uma cota inferior de {f(x)g(x): x∈X}. Como ínfimo é a maior das cotas inferiores,
inf(fcdot g) >= m,n = (inf f),(inf g)

Resposta

sup(fcdot g) <= sup f cdot sup g e inf(fcdot g) >= inf f cdot inf g.

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