Sejam
e
funções limitadas.
Conclua que se
forem funções positivas, isto é,
e
para todo
, então
e que
.
Conclua que se
Passo 1
O enunciado diz que temos um conjunto X e duas funções f,g: X→ℝ que são limitadas e positivas (isto é, f(x)>0 e g(x)>0 para todo x em X). A tarefa é provar duas desigualdades envolvendo supremo e ínfimo do produto f·g. Vamos precisar do conceito de supremo (menor cotasuperior) e de ínfimo (maior cota inferior) e da propriedade de que, se M é uma cota superior de um conjunto A, então sup A ≤ M, e se m é uma cota inferior de A, então inf A ≥ m.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que sup(f·g) ≤ sup f · sup g. Denotemos M = sup f e N = sup g. Por definição de supremo, temos para todo x em X:
Como f(x) e g(x) são não negativas, podemos multiplicar as desigualdades sem inverter sinais e obter:
Isso mostra que M·N é uma cota superior para o conjunto {f(x)g(x): x∈X}. Portanto, pelo fato de supremo ser a menor das cotas superiores,
Passo 3
Agora, vamos mostrar que inf(f·g) ≥ inf f · inf g. Denotemos m = inf f e n = inf g. Por definição de ínfimo, para todo x em X:
Multiplicando essas desigualdades (e lembrando que m,n>0), temos:
Isso diz que m·n é uma cota inferior de {f(x)g(x): x∈X}. Como ínfimo é a maior das cotas inferiores,