Sejam X subset R e f, g: X R funções limitadas.
Prove que se f é uma função positiva, então sup (f cdot f)=(sup f)^2.

Passo 1

O exercício está em cálculo de supremo de funções limitadas: temos um conjunto X⊂ℝ e uma função f:X→ℝ que é limitada e não negativa. Precisamos mostrar que o supremo da função quadrática f·f (isto é, f(x)^2) coincide com o quadrado do supremo de f.

Passo 2

Definimos M = sup f. Como f(x)≤M para todo x∈X, elevando ao quadrado (e lembrando que f(x)≥0), obtemos f(x)^2 ≤ M^2. Dessa forma, todo valor de f·f fica abaixo de M^2, logo sup(f·f) ≤ M^2.

Passo 3

Para obter a desigualdade inversa, distinguimos dois casos:
Caso M=0: como f(x)≥0 e sup f=0, temos f(x)=0 para todo x, então sup(f·f)=0=M^2.
Caso M>0: dado δ>0, usamos a definição de supremo para achar x₀∈X tal que f(x₀)>M−ε. Escolhemos ε=δ/(2M)>0. Então
f(x0)^2 > (M-ε)^2 = M^2 - 2Mε + ε^2 = M^2 - de M^2 - de

Passo 4

Como sup(f·f) é o menor majorante, sup(f·f) ≥ f(x₀)^2 > M^2 - δ. Como δ>0 é arbitrário, isso implica sup(f·f) ≥ M^2.

Passo 5

Juntando as duas desigualdades sup(f·f) ≤ M^2 e sup(f·f) ≥ M^2, concluímos que sup(f·f)=M^2, ou seja, sup(f·f)=(sup f)^2.

Resposta

sup(f cdot f)=(sup f)^2

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