Sejam X subset R e f, g: X R funções limitadas.
Prove que f cdot g é uma função limitada.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se duas funções limitadas f e g definidas em X ⊂ ℝ são dadas, então a função produto f·g também é limitada. O conteúdo aqui é Análise Real, mais especificamente a propriedade de que o produto de duas funções limitadas é limitada, e vamos usar a definição de função limitada e a desigualdade triangular básica para regrar produtos de números reais.

Passo 2

Por definição, uma função h: X → ℝ é limitada se existe uma constante L ≥ 0 tal que |h(x)| ≤ L para todo x ∈ X. Aqui vamos aplicar essa definição separadamente a f e a g.

Passo 3

Como f e g são limitadas, existem constantes M ≥ 0 e N ≥ 0 tais que para todo x ∈ X valem as desigualdades
|f(x)| <= M,
e
|g(x)| <= N

Passo 4

Para qualquer x ∈ X, observe que
|f(x)cdot g(x)| = |f(x)|cdot|g(x)| <= Mcdot N
Isso vem da propriedade de que o módulo do produto é o produto dos módulos.

Passo 5

Basta então definir P = M·N. Como P é uma constante não negativa e satisfaz |f(x)·g(x)| ≤ P para todo x ∈ X, concluímos que a função f·g é limitada.

Resposta

Como mostramos que existe P = M·N com |f(x)·g(x)| ≤ P para todo x ∈ X, segue que f·g é uma função limitada.

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