Sejam
e
funções limitadas.
Prove que
é uma função limitada.
Prove que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se duas funções limitadas f e g definidas em X ⊂ ℝ são dadas, então a função produto f·g também é limitada. O conteúdo aqui é Análise Real, mais especificamente a propriedade de que o produto de duas funções limitadas é limitada, e vamos usar a definição de função limitada e a desigualdade triangular básica para regrar produtos de números reais.
Passo 2
Por definição, uma função h: X → ℝ é limitada se existe uma constante L ≥ 0 tal que |h(x)| ≤ L para todo x ∈ X. Aqui vamos aplicar essa definição separadamente a f e a g.
Passo 3
Como f e g são limitadas, existem constantes M ≥ 0 e N ≥ 0 tais que para todo x ∈ X valem as desigualdades
e
Passo 4
Para qualquer x ∈ X, observe que
Isso vem da propriedade de que o módulo do produto é o produto dos módulos.
Passo 5
Basta então definir P = M·N. Como P é uma constante não negativa e satisfaz |f(x)·g(x)| ≤ P para todo x ∈ X, concluímos que a função f·g é limitada.
Resposta
Como mostramos que existe P = M·N com |f(x)·g(x)| ≤ P para todo x ∈ X, segue que f·g é uma função limitada.