Consideremos no espaço vetorial mathbb{R}^{2} o produto interno dado por <\vec{u}, \vec{v}>=x_{1} x_{2}+2 y_{1} y_{2}. Verificar se \vec{u} e \vec{v} são ortogonais, em relação a esse produto interno, nos seguintes casos:
\vec{u}=(3,2) e \vec{v}=(2,-1).

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^2 o produto interno
\langle \vec{u},\vec{v}\rangle \;=\; x_{1}x_{2} \;+\; 2\,y_{1}y_{2},
onde \vec{u}=(x_{1},y_{1}) e \vec{v}=(x_{2},y_{2}). Para verificar se \vec{u} e \vec{v} são ortogonais basta calcular \langle \vec{u},\vec{v}\rangle e ver se dá zero. Aqui temos \vec{u}=(3,2) e \vec{v}=(2,-1).

Passo 2

Substituindo x_{1}=3, y_{1}=2, x_{2}=2 e y_{2}=-1 na fórmula do produto interno, vem
\langle \vec{u},\vec{v}\rangle =3\cdot 2 \;+\; 2\,(2\cdot(-1)) =6 \;+\; 2\,( -2) =6 -4 =2.

Passo 3

Como \langle \vec{u},\vec{v}\rangle =2\neq 0, concluímos que \vec{u} e \vec{v} não são ortogonais em relação a esse produto interno.

Resposta

\vec{u} e \vec{v} não são ortogonais.

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