Determinar o núcleo, uma base para esse subespaço e sua dimensāo. T é injetora? Justificar.
Determinar a imagem, uma base para esse subespaço e sua dimensāo. T é sobrejetora? Justificar.
T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y, z)=(x+2 y-z, 2 x-y+z) B=\{(1,3)\}\quad \operatorname{dim} N(T)=1 \left\{\begin{array}{l}3 x-y=a \\\\ -3 x+y=b\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (lista clara):
  • A transformação linear é T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 definida por T(x,y,z)=(x+2y-z,\;2x-y+z).
  • O que precisa ser determinado:
    1. O núcleo (ou núcleo) de T, uma base para ele e sua dimensão; dizer se T é injetora e justificar.
    2. A imagem de T, uma base para ela e sua dimensão; dizer se T é sobrejetora e justificar.

Passo 2

Definição e procedimento para achar o núcleo (aula curta):
  • O núcleo é o conjunto \ker T=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid T(x,y,z)=(0,0)\}.
  • Para encontrá-lo, resolvemos o sistema linear obtido ao igualar cada componente de T(x,y,z) a zero: \begin{cases} x+2y-z=0,\\[4pt] 2x-y+z=0. \end{cases}Vou resolver passo a passo esse sistema para parametrizar todos os vetores que vão para zero.]

Passo 3

Resolvendo o sistema para \ker T (passo a passo algébrico):
  • Somando as duas equações obtemos (x+2y-z)+(2x-y+z)=3x+y=0.Logo y=-3x.
  • Substituindo y=-3x na primeira equação: x+2(-3x)-z=0 \quad\Rightarrow\quad x-6x-z=0 \quad\Rightarrow\quad -5x-z=0.Assim z=-5x.
  • Portanto todo vetor do núcleo tem a forma (x,y,z)=\bigl(x,\,-3x,\,-5x\bigr)=x\,(1,-3,-5).
  • Em notação de subespaço: \ker T=\{x(1,-3,-5)\mid x\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(1,-3,-5)\}.

Passo 4

Dimensão do núcleo e injetividade (explicação teórica e conclusão):
  • Vemos que \ker T é gerado por um único vetor não-nulo, portanto \dim\ker T=1.
  • Critério de injetividade: uma transformação linear é injetora se, e somente se, \ker T=\{0\}, isto é, se \dim\ker T=0.
  • Como \dim\ker T=1>0, concluímos que T não é injetora (há vetores não nulos que vão para o vetor zero).

Passo 5

Definição e cálculo da imagem (ideia e procedimento):
  • A imagem é o subespaço de \mathbb{R}^2 gerado pelas imagens dos vetores do domínio; uma maneira prática é calcular as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^3: e_1=(1,0,0),\quad e_2=(0,1,0),\quad e_3=(0,0,1).
  • Calculemos: T(e_1)=T(1,0,0)=(1+0-0,\;2-0+0)=(1,2),
T(e_2)=T(0,1,0)=(0+2-0,\;0-1+0)=(2,-1),
T(e_3)=T(0,0,1)=(0+0-1,\;0+0+1)=(-1,1).
  • Assim a imagem está contida em \operatorname{span}\{(1,2),(2,-1),(-1,1)\}. Mas como a imagem é um subespaço de \mathbb{R}^2, sua dimensão máxima é 2; precisamos achar uma base (vetores linearmente independentes) entre esses.

Passo 6

Verificando independência e escolhendo uma base da imagem (cálculo):
  • Verifico se, por exemplo, (1,2)\) e \((2,-1)\) são independentes. Considere \(\alpha(1,2)+\beta(2,-1)=(0,0)\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} \alpha+2\beta=0,\\[4pt] 2\alpha-\beta=0. \end{cases}Da segunda equação \beta=2\alpha\]. Substituindo na primeira: \[\alpha+2(2\alpha)=\alpha+4\alpha=5\alpha=0 \Rightarrow \alpha=0\Rightarrow \beta=0.\] Logo são linearmente independentes. - Como já temos dois vetores independentes em \(\mathbb{R}^2, eles formam uma base da imagem e \dim\operatorname{Im}T=2.
    - Observação: T(e_3)=(-1,1) fica automaticamente como combinação linear desses dois (pois o espaço gerado por dois vetores independentes em \mathbb{R}^2 é todo \mathbb{R}^2); na prática não precisamos expressá-lo explicitamente para concluir a dimensão.]

Passo 7

Surjetividade e verificação com teorema da dimensão (explicação e conclusão):
  • A transformação T é sobrejetora se \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2. Já vimos que \dim\operatorname{Im}T=2 e \dim\mathbb{R}^2=2. Como a imagem é um subespaço de \mathbb{R}^2 com mesma dimensão, segue que \operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2.
  • Portanto T é sobrejetora.
  • Como checagem de consistência, vale o Teorema do Núcleo e Imagem (rank-nullity): \dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T=1+2=3=\dim\mathbb{R}^3,que confirma os valores obtidos.

Resposta

\ker T=\operatorname{span}\{(1,-3,-5)\}
Base do núcleo: \{(1,-3,-5)\}
\dim\ker T=1
T não é injetora.
\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^2
Uma base da imagem: \{(1,2),(2,-1)\}
\dim\operatorname{Im}T=2
T é sobrejetora.

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