Determinar o Núcleo e a Imagem, uma base para o núcleo e outra para imagem e suas dimensões, T é injetora, é sobrejetora? Explique sua resposta. T(x, y)=(2 y, 5 x,-x-y) onde T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3}
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y)=(2y,\;5x,\;-x-y).
As perguntas que precisamos responder são:
Determinar o núcleo \ker(T).
Determinar a imagem \operatorname{Im}(T).
Dar uma base para \ker(T) e outra para \operatorname{Im}(T).
Informar as dimensões \dim\ker(T) e \dim\operatorname{Im}(T).
Dizer se T é injetora e se é sobrejetora, com justificativa.
Passo 2
O que é o núcleo e como calculamos: por definição,
Ou seja, devemos resolver o sistema linear obtido impondo T(x,y)=(0,0,0). Vou escrever explicitamente as equações que surgem de T(x,y)=(0,0,0).
Passo 3
Escrevendo as coordenadas de T(x,y)\) iguais a zero obtemos o sistema
\[\begin{cases} 2y=0,\\[4pt] 5x=0,\\[4pt] -x-y=0. \end{cases}
Da primeira equação vem y=0\] (pois \(2y=0\Rightarrow y=0).
Da segunda vem x=0 (pois 5x=0\Rightarrow x=0).
Substituindo x=0 e y=0 na terceira equação obtemos -0-0=0, que é satisfeita.
Portanto a única solução é (x,y)=(0,0). Logo
\ker(T)=\{(0,0)\}.]
Passo 4
Base e dimensão do núcleo: o subespaço \{(0,0)\} é o subespaço trivial. Ele não possui vetor não nulo, então sua base é o conjunto vazio e sua dimensão é zero. Em notação:
\text{uma base de }\ker(T)\text{ é } \varnothing,\qquad \dim\ker(T)=0.
Observação importante (útil na prova): \ker(T)=\{0\} implica que T é injetora — mais adiante explico isso formalmente.
Passo 5
Agora vamos obter a imagem. Método prático: calcular as imagens dos vetores da base canônica de \mathbb{R}^2, isto é e_1=(1,0) e e_2=(0,1).
Calculemos
T(1,0)=(2\cdot 0,\;5\cdot 1,\; -1-0)=(0,5,-1),
T(0,1)=(2\cdot 1,\;5\cdot 0,\; -0-1)=(2,0,-1).
A imagem de T é o subespaço gerado por essas colunas:
e a imagem é o espaço gerado pelas colunas de A.)]
Passo 6
Agora precisamos ver se os vetores (0,5,-1)\) e \((2,0,-1)\) são linearmente independentes; se sim, formam uma base da imagem. Para testar, considere \(c_1(0,5,-1)+c_2(2,0,-1)=(0,0,0)\). Isso dá o sistema (coordenada a coordenada)
\[\begin{cases} 2c_2=0,\\[4pt] 5c_1=0,\\[4pt] -c_1-c_2=0. \end{cases}
Da primeira equação vem c_2=0\]. Da segunda vem \(c_1=0. Assim c_1=c_2=0 é a única solução, portanto os dois vetores são linearmente independentes.
Como são independentes e são dois vetores em \mathbb{R}^3, eles formam uma base de \operatorname{Im}(T) e
\dim\operatorname{Im}(T)=2.]
Passo 7
Conclusões sobre injetividade e sobrejetividade:
Injetividade: um mapa linear é injetor se e somente se o seu núcleo é \{0\}. Encontramos \ker(T)=\{0\}, logo T é injetora. Em palavras: não há dois vetores distintos do domínio que tenham a mesma imagem.
Sobrejetividade: para ser sobrejetora a imagem deve ser todo \mathbb{R}^3. Mas \dim\operatorname{Im}(T)=2<3, então \operatorname{Im}(T) é um plano propriamente dito em \mathbb{R}^3 e não todo \mathbb{R}^3. Portanto T não é sobrejetora.
Resposta
\ker(T)=\{(0,0)\}
Base de \ker(T): \varnothing \dim\ker(T)=0
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{(0,5,-1),\;(2,0,-1)\}
Base de \operatorname{Im}(T): \{(0,5,-1),\;(2,0,-1)\} \dim\operatorname{Im}(T)=2