Verificar se a transformação abaixo é um OPERADOR Linear:
T(x, y)=(x-y, x+y, 2 x+y)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a transformação
T(x,y)=(x-y,\;x+y,\;2x+y)
é um OPERADOR linear. Informações dadas:
A regra que associa a cada vetor (x,y) de \mathbb{R}^2 um vetor em \mathbb{R}^3 está explicitada acima.
Não foi dada outra restrição; portanto a verificação deve cobrir as propriedades que definem linearidade.
Passo 2
Lembrete do que significa “ser linear” (definição que vamos usar):
Uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar \alpha, valerem as duas propriedades:
(aditividade) T(u+v)=T(u)+T(v).
(homogeneidade) T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
Vou usar essas duas propriedades para testar T. Aqui u e v serão vetores em \mathbb{R}^2 e \alpha será um número real.
Passo 3
Verificação da aditividade. Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Primeiro calcule u+v:
Portanto T(\alpha u)=\alpha\,T(u) para todo \alpha e todo u.
Passo 5
Como ambas propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas, concluímos que T é linear. Outra forma de ver isso, útil na prova, é exibir a matriz que representa T em bases canônicas: para (x,y) pode-se escrever
Multiplicação matricial dá exatamente as três componentes x-y,\;x+y,\;2x+y. Qualquer aplicação que possa ser escrita como produto de matriz por vetor é linear — isto é um atalho que costuma aparecer em provas.]
Passo 6
Pequena observação terminológica (importante na hora da prova): a transformação T é uma transformação linear de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^3. Se por “operador” o professor exigir estritamente um endomorfismo (ou seja, mapa linear de um espaço para ele mesmo), então T não é um operador nesse sentido porque o domínio \mathbb{R}^2 e o contradomínio \mathbb{R}^3 são diferentes. Mas, no uso comum, muitos chamam de “operador linear” qualquer transformação linear; verifique a definição que o seu professor usa na prova.
Resposta
Sim. T é uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3.\nSe “operador” for exigido no sentido estrito de endomorfismo, então não é um operador porque domínio e contradomínio diferem.