Verificar se a transformação abaixo é um OPERADOR Linear:
T(x, y)=(x-y, x+y, 2 x+y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a transformação
T(x,y)=(x-y,\;x+y,\;2x+y)
é um OPERADOR linear. Informações dadas:
  • A regra que associa a cada vetor (x,y) de \mathbb{R}^2 um vetor em \mathbb{R}^3 está explicitada acima.
  • Não foi dada outra restrição; portanto a verificação deve cobrir as propriedades que definem linearidade.

Passo 2

Lembrete do que significa “ser linear” (definição que vamos usar):
  • Uma aplicação T é linear se, para quaisquer vetores u,v do domínio e qualquer escalar \alpha, valerem as duas propriedades:
    1. (aditividade) T(u+v)=T(u)+T(v).
    2. (homogeneidade) T(\alpha u)=\alpha\,T(u).
      Vou usar essas duas propriedades para testar T. Aqui u e v serão vetores em \mathbb{R}^2 e \alpha será um número real.

Passo 3

Verificação da aditividade. Seja u=(x_1,y_1) e v=(x_2,y_2). Primeiro calcule u+v:
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2).
Agora aplique T em u+v:
T(u+v)=\bigl((x_1+x_2)-(y_1+y_2),\; (x_1+x_2)+(y_1+y_2),\; 2(x_1+x_2)+(y_1+y_2)\bigr).
Simplificando cada componente:
T(u+v)=\bigl((x_1-y_1)+(x_2-y_2),\; (x_1+y_1)+(x_2+y_2),\; (2x_1+y_1)+(2x_2+y_2)\bigr).
Agora calcule T(u) e T(v) separadamente:
T(u)=(x_1-y_1,\;x_1+y_1,\;2x_1+y_1),
T(v)=(x_2-y_2,\;x_2+y_2,\;2x_2+y_2).
Somando:
T(u)+T(v)=\bigl((x_1-y_1)+(x_2-y_2),\; (x_1+y_1)+(x_2+y_2),\; (2x_1+y_1)+(2x_2+y_2)\bigr).
Comparando com T(u+v) vemos que as duas expressões coincidem componente a componente. Logo T(u+v)=T(u)+T(v) para quaisquer u,v.

Passo 4

Verificação da homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,y)\in\mathbb{R}^2. Primeiro calcule \alpha u:
\alpha u=(\alpha x,\;\alpha y).
Aplique T em \alpha u:
T(\alpha u)=\bigl(\alpha x-\alpha y,\; \alpha x+\alpha y,\; 2\alpha x+\alpha y\bigr).
Fatorando \alpha em cada componente:
T(\alpha u)=\alpha\bigl(x-y,\; x+y,\; 2x+y\bigr)=\alpha\,T(u).
Portanto T(\alpha u)=\alpha\,T(u) para todo \alpha e todo u.

Passo 5

Como ambas propriedades (aditividade e homogeneidade) foram verificadas, concluímos que T é linear. Outra forma de ver isso, útil na prova, é exibir a matriz que representa T em bases canônicas: para (x,y) pode-se escrever
T(x,y)=\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 1 & 1\\[4pt] 2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}.
Multiplicação matricial dá exatamente as três componentes x-y,\;x+y,\;2x+y. Qualquer aplicação que possa ser escrita como produto de matriz por vetor é linear — isto é um atalho que costuma aparecer em provas.]

Passo 6

Pequena observação terminológica (importante na hora da prova): a transformação T é uma transformação linear de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}^3. Se por “operador” o professor exigir estritamente um endomorfismo (ou seja, mapa linear de um espaço para ele mesmo), então T não é um operador nesse sentido porque o domínio \mathbb{R}^2 e o contradomínio \mathbb{R}^3 são diferentes. Mas, no uso comum, muitos chamam de “operador linear” qualquer transformação linear; verifique a definição que o seu professor usa na prova.

Resposta

Sim. T é uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3.\nSe “operador” for exigido no sentido estrito de endomorfismo, então não é um operador porque domínio e contradomínio diferem.

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