Determinar o núcleo e a imagem, bem como as dimensões respectivas, de T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow P_{2}(\mathbb{R}) dada por T(f(t))=f(t)+t^{2} f^{\prime}(t).

Passo 1

O enunciado define
T: P_{2}(\mathbb{R}) \to P_{2}(\mathbb{R})
por
T\bigl(f(t)\bigr) \;=\; f(t) \;+\; t^{2}\,f'(t).
Queremos determinar o núcleo e a imagem de T e suas dimensões. O conteúdo aqui é analisar um operador linear num espaço de dimensão 3 e usar a definição de núcleo ( T(f)=0) e de imagem (geradores pela imagem da base).

Passo 2

Escolhemos a base canônica de P_{2}(\mathbb{R}), escrevendo
f(t) = a + b\,t + c\,t^{2}.
Então
f'(t) = b + 2c\,t
e
T(f)(t) = a + b\,t + c\,t^{2} \;+\; t^{2}(b + 2c\,t) = a + b\,t + (c + b)\,t^{2} + 2c\,t^{3}.

Passo 3

Núcleo: impondo T(f)=0 (polinômio nulo) obtemos o sistema
a = 0,\quad b = 0,\quad c + b = 0,\quad 2c = 0.
Da equação 2c=0 segue c=0, logo b=0 e a=0. Portanto
\ker T = \{0\} \quad\text{e}\quad \dim(\ker T)=0.

Passo 4

Imagem: basta calcular T nos vetores da base:
T(1) = 1, \quad T(t) = t + t^{2}, \quad T(t^{2}) = t^{2} + 2\,t^{3}.
Logo
\operatorname{Im} T = \bigl\langle 1,\; t + t^{2},\; t^{2} + 2\,t^{3}\bigr\rangle.
Como vemos, são três vetores linearmente independentes, então
\dim\bigl(\operatorname{Im} T\bigr)=3.

Resposta

\ker T = \{0\}, \;\dim(\ker T)=0.
\operatorname{Im} T = \langle 1,\; t + t^{2},\; t^{2} + 2t^{3}\rangle,\;\dim(\operatorname{Im} T)=3.

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