Determinar o núcleo e a imagem, bem como as dimensões respectivas, de
dada por
.
Passo 1
O enunciado define
por
por
Queremos determinar o núcleo e a imagem de
e suas dimensões. O conteúdo aqui é analisar um operador linear num espaço de dimensão 3 e usar a definição de núcleo (
) e de imagem (geradores pela imagem da base).
Passo 2
Escolhemos a base canônica de
, escrevendo
Então
e
Passo 3
Núcleo: impondo
(polinômio nulo) obtemos o sistema
Da equação
segue
, logo
e
. Portanto
Passo 4
Imagem: basta calcular
nos vetores da base:
Logo
Como vemos, são três vetores linearmente independentes, então