Questão 2(3,0). Sejam \vec{v}=(1,3,4), \vec{u}=(-1,-1,0) e \vec{w}=(0,1,2), determine:
\vec{v}+\vec{u}
) |\vec{v}+\vec{u}|
\vec{v} \cdot \vec{w} (Produto Escalar)
0,2^{\text {d }} \vec{u} \times \vec{w} (Produto Vetorial)
0, 2^{e)}(\vec{u}, \vec{u}, \vec{w}) (Produto Misto)
A) o vetor projeção de \vec{v} sobre \vec{u}.

Passo 1

O enunciado fornece os vetores em \mathbb{R}^3
\vec{v}=(1,3,4),\quad \vec{u}=(-1,-1,0),\quad \vec{w}=(0,1,2)
e pede:
(a) \vec{v}+\vec{u},
(b) \lvert\vec{v}+\vec{u}\rvert,
(c) \vec{v}\cdot\vec{w},
(d) \vec{u}\times\vec{w},
(e) o produto misto (\vec{u},\vec{u},\vec{w}),
(A) a projeção de \vec{v} sobre \vec{u}.
Usaremos soma componente a componente, definição de norma, produto escalar, fórmula do produto vetorial em coordenadas, produto misto como \vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}) e a fórmula de projeção
\displaystyle \operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{v})=\frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\lVert\vec{u}\rVert^2}\,\vec{u}.

Passo 2

Para calcular \vec{v}+\vec{u}, somamos componente a componente:
\vec{v}+\vec{u}=(1+(-1),\,3+(-1),\,4+0)=(0,2,4).

Passo 3

Para obter \lvert\vec{v}+\vec{u}\rvert, aplicamos a definição de norma em \mathbb{R}^3:
\lvert\vec{v}+\vec{u}\rvert = \sqrt{0^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

Passo 4

O produto escalar \vec{v}\cdot\vec{w} é a soma dos produtos de cada componente:
\vec{v}\cdot\vec{w} =1\cdot 0 + 3\cdot 1 + 4\cdot 2 = 0 + 3 + 8 = 11.

Passo 5

O produto vetorial \vec{u}\times\vec{w} em \mathbb{R}^3 usa a fórmula
\vec{u}\times\vec{w} = (u_2w_3 - u_3w_2,\;u_3w_1 - u_1w_3,\;u_1w_2 - u_2w_1).
Com \vec{u}=(-1,-1,0) e \vec{w}=(0,1,2), temos
\vec{u}\times\vec{w} =((-1)\cdot 2 - 0\cdot 1,\; 0\cdot 0 - (-1)\cdot 2,\; (-1)\cdot 1 - (-1)\cdot 0) = (-2,2,-1).

Passo 6

Para o produto misto (\vec{u},\vec{u},\vec{w}), usamos
(\vec{u},\vec{u},\vec{w}) = \vec{u}\cdot(\vec{u}\times\vec{w}).
Como \vec{u}\times\vec{w}=(-2,2,-1),
\vec{u}\cdot(-2,2,-1) = (-1)\cdot(-2) + (-1)\cdot 2 + 0\cdot(-1) = 2 - 2 + 0 = 0.

Passo 7

A projeção de \vec{v} sobre \vec{u} é
\operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) = \frac{\vec{v}\cdot\vec{u}}{\lVert \vec{u}\rVert^2}\,\vec{u}.
Calculamos
\vec{v}\cdot\vec{u} = 1\cdot(-1) + 3\cdot(-1) + 4\cdot 0 = -4
e
\lVert \vec{u}\rVert^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 = 2,
logo o coeficiente é \,-4/2=-2. Assim,
\operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{v}) = -2\,\vec{u} = -2\,(-1,-1,0) = (2,2,0).

Resposta

(a) \vec{v}+\vec{u}=(0,2,4).
(b) \lvert\vec{v}+\vec{u}\rvert=2\sqrt{5}.
(c) \vec{v}\cdot\vec{w}=11.
(d) \vec{u}\times\vec{w}=(-2,2,-1).
(e) (\vec{u},\vec{u},\vec{w})=0.
(A) \operatorname{proj}_{\vec{u}}(\vec{v})=(2,2,0).

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